CHAPITRE I

ESQUISSE D'iNE THÉORIE (;ÉNÉRALE DES CAR-VCTÉKISTIQL ES.

La théorie est toute récente. Citons les noms de :

Bàcklund {Mothematische Annalen, t. XIII). J. Beudon [Soc. math, de France, iSgS). J. Hadamard {Leçons sur les ondes, igoS). J. Goiilon {Thèse, Paris, 1902).

Nous suivrons l'exposition de MM. Hadamard et Beudon.

1. Équations linéaires. — Prenons, pour simplifier l'exposition, trois variables indépendantes, Jc^, x^, x^. Soit l'équation

ik ()Z rP Z

dx, OXiil.Ti,

Pikii

dxi ox/; ôxii Les données sont portées par la surface frontière S

X^ = o{Xi, Xt)i

et l'on écrit

-^ = 1', i^ = i'.,. ^i2=Pj,,

àXi ' dr-> '' Oxi (ix-i

On donne, sur S, les valeurs de :; :

sur S, z{Xi, X2, X3) devient z{Xi, x^), Jonction connue des

deux variables a:,, x^.

Chaque fois qu'il sera nécessaire de spécifier nettement qu'une fonction de trois variables se réduit, sur une surface, à une nouvelle fonction de deux variables, nous l'indiquerons par ce trait : z.

Dans (i) /ne contient que des dérivées de z d'ordre i, au plus.

Pi dépend de trois variables. Cherchons sa valeur y>, sur S.

Nous n'avons qu'à écrire

(I) — ^ = fonclion connue =pi-i- Pip-i (f = i, 2).

Donc si, sur S, outre z, on donne p^, on connaîtra />, et /?,, valeurs sur S de/>i et p^.

Donnant donc s, ps, on connaît, sur S, toutes les dérivées premières, en général.

Montrons que l'on connaîtra toutes les dérivées de tout ordre

l — — = tonclion connue = />/.,+ "iPk3

^-p^i^PiPsz

d'où

^ = lî-P'lî-^'''*^-

II suffira de connaître /J33. Or l'équation (i) donne alors ayant posé

2\ indiquant que i et k prennent seulement les valeurs i, 2.

En général, on a H^o, p^z est connu; donc toutes les dérivées secondes sont connues.

Pareillement, on a

<ipi(U e ■ i>

— — = lonclion connue = p/,/n-^' iP/chi,

nii) { ^

(fp:i^ , o