CHAP. I. — THÉORIE GÉNÉRALE DES CARACTÉRISTIQUES
d'où la valeur de pi^z et puis celle de /-?,a/» en fonclion de /?333.
Alors l'équation (i) donne
(">) n/?33:j-r- Kl = O.
On voit exactement de même que toutes les dérivées d'ordre a sont connues en fonction de
T'as • • -3 (X fois),
et que celle-ci est connue sans ambiguïté si H^o.
D'où la série formelle. Puis on établit la convergence, et l'on a le théorème de Gauchy et M""" de Kowaleska.
// y a exception au théorème si la surface S est une solution de H = G.
Nous appelons, avec AI. Beudon, caractéristiques les surfaces intégrales de
il!) G =2 «,A-P,P/. -^ «/3 P/ +
Supposons les a dépendant seulement des x, non de z. Pour intégrer celte équation, on cherche les courbes caractéristiques de H :=o, nommées par M. Hadamard bicaractéris tiques de (i).
Soit
(>P, OXi
Ces bicaractéristiques sont données par
dxi dx=> dx,, — </P, — dP.,
IIi iU 1I,P,^II.2P2 ^.+ l'i;3 U^PiU
Sur une surface caractéristi<jue, on se donnera z, mais non pas p^ totalement arbitraire, car, H étant nul, p^ devra être une intégrale de K = o.
Transformons K, en dérivant la relation
5fi DEUXIÈME PARTIE.
d'où
d.r,().r/^ ôxi, dx/, dx/^.
àxi dxk dxii dxi
C'est une équation aux dérivées partielles, linéaire, définissant />3 en fonction de x^ et x^.
On l'écrit
n;#-n;^=ya.
/'.il'//, -+-/== ï^
dx-^ - dx^ Jmà ' \ dxi dxii
Les courbes caractéristiques sont données par dxx dx^ dp^
Or
111 = aaii P] + ^aiîPa — «13 = H'i,
11,= 2 «12 Pi -1- aaaîP-i — «23= lU,
( an, = ttki puisque />,a- = pki )■
Les courbes caractéristiques de H = o et K 1=3 o sont donc définies par des équations différentielles dont la première est la même.
Celte remarque de M. Hadaniard est essentielle.
Ainsi donc, S devenant une surface caractéristique, on peut se donner arbitrairement z et Ton ne peut se donner p^, qu'en un point sur chaque bicaractérislique.
11 en sera de même pour p-^^, p^^ • • • 3, car on a, pour ces dérivées, les équations toutes semblables
dxf
dx-i
dpi
rLi\i
dpx.K
Hi
M. lladamard a, d'ailleurs, étendu la théorie aux systèmes d'équations avec autant d'inconnues z que de variables x.
Il est impossible, ici, de ramener un système à une équation.
r.HAP. I. — TIIKOKIE GÉNÉRALE DES CARACTÉRISTIQUES. 5;
Il est possible, au contraire, d'étendre la théorie de Beudon-Hadamard aux équations non linéaires, i^râce à une dérivation.
Montrons-le briévenaent et indiquons, d'après MM. Beudon et Hadamard, qu'en général, lorsque la surface des données est caractéristique, il existe une infinité de solutions pour le problème de Caucliy.
Bien entendu, si la surface des données n'est pas caractéristique, on montre facilement qu'il existe une solution analytique unique, conformément au théorème de Gauchy- Kowaleska.
2. Equations générales. — L'équation est d'ordre k, non linéaire. Far une dérivation, on a une équation d'ordre A-hi, linéaire par rapport aux dérivées d'ordre supérieur.
Soit
( I.) PipiA-, Pi, 2, ^i) = o;
dérivons en .r„, d'où
( "i ) jtd^ ^i/^Pi/cn ^Z^^'iPin
àp,/, Sur une surface S,
x,i = j( :ri, Xo. ...,ar,j i),
dF
ùF
dXn
^'~ àpi'
on donne z, p„.
Soit
dx,
ÔXi
= /'/+ i'ipn. d'où Pi
T— = PiA-^^iP/'rf, d ou pa,
àXj
en fonction de/>„„, et alors (i) donne />„„, en général.
De sorte que nous sommes ramené à trouver une solution de (2) connaissant, sur S, z et ses dérivées premières et secondes.
Cherchons les dérivées troisièmes, nous avons, comme
précédemment,
La question se présenle de la même façon que précédemment.
Bien entendu, loul se répète, sauf qu'une équation non linéaire d'ordre /> se comporte comme une équation d'ordre
3. Théorèmes d'existence. — MM. Heudon et Hadamard, en suivant pas à pas M. Goursat, ont établi des théorèmes fondamentaux.
Nous mettons l'équation générale sous la forme
Pn.>,-l='P(Xi, Z, Pi, /),/,).
Nous exprimons que le plan j:„z=o est tangent, en o, à une caractéristique.
Supposant que la droite .r„= o =r ^,j i n'est pas tangente à une bicaractéris/if/ue, nous trouvons une solution lioloinorphe unique prenant des valeurs données
c = '^(.i-,, 3-0 . . ., a-^-i) pour Tn = o,
z = -/{xi, ..., Xn-u ^n) pour J-„i = o.
Puis nous passons au cas où le plan ./„— : o est cnractéiistique et nous obtenons ce tiiéokème : Soit une équation générale du second ordre,
Une intégrale est déterminée par ses valeurs données : 1° sur une caractéristique; 2" sur une surface sécante (l'intersection n'étant pas une bicaraclêristique).
Cette seconde condition remplace la donnée de toutes les dérivées p„n...n c un point de chaque bicaraclêristique (').
(') J. IIada.maui), Leçons sur les ondes.
CM AI». 1. — THF.ORIK GKNKUALE DKS CARACTERISTIQt'KS. >€)
k-. Remarqiîk. — Pour ^équation des ondes, étudiée au Chapitre suivant, l'on rencontre une circonstance nouvelle.
Les caractéristiques sont des plans à 4^° sur le plan .r, y ou des enveloppes de tels plans.
Menons un cône à 45°. C'est une caractéristique spéciale : le fait de donner la valeur de V intégrale sur le cône suffit à déterminer sans ambiguïté toutes les dérivées sur ce cône.
Au point de vue des éléments analytiques, il y aurait là une étude à faire. Elle est commencée dans un Mémoire qui va paraître (' ).
Note. — Est-il nécessaire de remarquer qu'évidemment la théorie des caractéristiques est toute diirérenle suivant que l'équation est linéaire ou non, suivant que r- n'entre pas ou entre dans la fonction r/,/;. [Chap. I, n" 1, formule (i)].
Il en est de même quand le nombre des variables indépendantes est moindre que 3 ( I""" Partie, Chap. II).
(') R. d'Adhémah, Journal de M. Jordan, 1906.
6o DEIXIKMR PARTIE.
