CHAPITRE II

L EQUATION DES ONDES GENERALISEE.

â- Il 0- H à- Il / (hi du Ou

1. Une formule fondamentale. La notion de conormale. — Soit une surface fermée 21, soit W le volume intérieur, soient a, p, y les cosinus de la normale extérieure en un point, soient u et v des fonctions de x, y, ;, admettant des dérivées des deux picaiiers ordres; représentons, d'autre j)art, par le svnil)ole A l'opération

et par le symbole D„ l'opération

ôx'^ ^ ôy " ôz } '

La même méthode qui donne la célèbre formule de Green. fondamentale dans la Physique mathématique, donnera

j I I \u\n>)-~vMu)]dz = I / I «!)„((•)- «'1J/<1")| '/'"•

C'e^t la forme employée par M. NOilcrra, pai' M. Coulon dans ses premiers travaux.

Or j'ai montré (') (|ue 1)„ repiésente une déiivée véritable, suivant la direction symétrique de la normale par rapport au plan ./•)', direction nommée conormale et représentée par N. L'on a alors

Considérons un plan à '|5" sur l'horizon {xy) ou une sur- (') Comptes rendus, ii février 1901.

CIIAP. II. — L KQIATION DES OXDES GENERALISKE.

l'ace polyéflrale de plans de cette espèce, ou un cône dont les génératrices soient à 45°. Pour toutes ces surfaces l'on x-ioit que la direction conormale est située sur la surface même, de sorte que, si l'on connaît, sur ces surfaces, la valeur de //, la

valeur de -rrr s'en déduit. MM. Coulon et Hadamard ont

étendu la notion de co«o/7na/e à l'équation linéaire générale du type hyperbolique.

2. Intégration, par M. Volterha. — Cherchons, avec M. Volterra, une fonction V, analogue à celle de Green ou de Riemann, telle que

Ai;v)^o,

et qui soit nalla sur un cône A à 45°, de sommet A.

{^^o,yo)

Nous sommes alors certain que, sur A, l'on a d\'

(MM. Volterra et Coulon étaient obligés de faire un calcul pour s'en assurer,)

En plus, V(^,y, z) sera inertie sur l'axe vertical A:;'. Dans ces conditions, si l'on applique la formule (G) au

volume marqué par des hachures, si u et -^ sont donnés

sur }î;, la formule (G) se réduira à une intégrale simple étendue de A en P égalée à un terme connu.

Une inversion donnera u intégrale de .\{u) =zF{jc, v, z). Montrons-le.

62 IIELXIÈMK PAllTli;.

Soit A : (^ro,/o- -o); soient soit

r Cherchons une fonction V::=zcp(0). L'on a

V=T = los[i'+^/(fj'-,|.

V est bien nulle sur le cône A, qui a pour équation

Soit /•==:£ Téquation du cylindre vertical r, de rayon infiniment petit. La formule (G) donne

Or

(a étant l'angle polaire) et, comme

lini( V X e) = G,

ce terme est nul à la limite.

Puis, sur r, l'on a

dN Or rJz'^ 7^

et u est fonction de z seul. On a donc

'it" / / i' -/r, diji = \\m f I — u(Xo,yo, zjr dcLdz

r=oJ J dH r = iij .7 rJz"'—r^

= -2 7: / u(a:o,yo, z) dz.

CHAP. II. — l'kQUATION DES ONDES SÉNÉRALISÉE. 63

D'où

--Ja Par inversion,

/ N ^^Ja

Et c'est, établie plus rapidement, la formule donnée par M. Volterra [formule (2) de la page i83)].

AI. Volterra a donc reconnu intuitivement le rôle des surfaces caractéristiques, puisque le cône A est caractéristique pour l'équation

Il a découvert la fonction convenable V et a ainsi obtenu la formule qui donne l'intégrale en A, si elle existe, en fonction des valeurs données

du t sur l'aire de S découpée par A.

dH ]

J'ai complété cette belle théorie dans divers Mémoires {Journal de M. Jordan, 1904 et 1906 et Rendiconti del Circolo di Palermo, i9o5).

Je vais résumer les résultais obtenus.

Si 2 est un cône ou un polyèdre de droites à /}5°, la

donnée u suffit^ puisque -j^ en résulte.

En plus le plan tangent de S doit être constamment incliné à 45°, au plus, sur xoy.

Il reste alors à faire, suivant l'expression de M. Hadaïuard, la synthèse de la solution.

1° La solution est-elle unicpie, lorsque u et sa dérivée sont donnés?

2° Quand le point (j^o^/o' ^0) tend vers le point (i) de la frontière S, est-ce que «(.rg, v'oi ^0) ^^^à vers m, valeur donnée?

3° Peul-on vérifier l'équation A(«) = o?

Le premier point résulte de la formule. Pour les deux autres, nous devons mettre sous une forme nouvelle les dérivées ^''intégrales à élément infini, comme l'ont fait simultanément M. Iladamard el l'auteur.

^4 DEIXIKME PARTIE.

Bien entendu, d"ai)i"ès la forme de Ja, l'on considérera séparément deux problèmes :

I" Intégrer

du , , , ,

« et -nr étant donnes nuls sur S;

fflJN

2° Intégrer

du , , , ,

a et -rrr étant donnes /«o« nuls. aN

A plusieurs reprises {Congrès des mathématiciens, Heidelberg, igo^; Annales de l'Ecole Normale supérieure. igoS), i\I. Hadamard a signalé comme difficile cette synthèse de la solution, et sa vérification. Nous allons montrer quel a été notre point de départ.