CHAP. II. — L ÉQUATION OES ONDES GÉNÉBALISÉE

donc faire le changement de variables

a — .7- = a(i — y), et V devient V,,

Considérons d'ailleurs l'intégrale

D'après les hypothèses faites, les intégrales Vi et Wi convergent uniformément, d'où

vv,= ^.

«a Mais l'on peut écrire

Posons

J On a

Cette limite ejciste certainement, comme on le verrait en faisant dans Wj le changement

i-y = zK Donc enfin

Voici le point essentiel : légitimité de l'interversion de deux passages à la lim.ite.

Mais, en dérivant J/i, intégrale ci-dessus, où k est Jini pour l'instant, nous pouvons employer la formule (i) :

Scieiitia, n° 29.

Celle expression (4) renferme deux termes qui croissent indéfiniment lorsque h tend vers zéro, mais dont la somme est finie. quel<|ue petit que soit h. Nous le savons d'avance, par le changement de variables; vérilions-le :

puisque

d /( -r. a ) ÙT. ^a — ,r

ùx J

Alors

d fi r, a; 0% y/a -.7

.ad — //,

àf dx 1/

La première intégrale sera finie, d'après nos hypothèses. La deuxième intéirrale donne

ad-/;]

ad-A)

Ici encore l'intégrale est finie. Donc

— - = partie finie -f- • "^ ^ Mi — A) •'' > J

\/h/'ai

y II y/c

Il est clair que les deux termes en -— devenant chacun ' s/h

infini pour /i = o o«^ //«e somme finie quelque petit que soit h, puisque la somme contient un facteur \fli.

Nous ferons constamment usage de ces parties finies d'intégrales infinies, car cela s'imjiose. L'extension aux intégrales doubles, grâce aux coordonnées polaires, est immédiate.

Extension. — Etendons ceci aux intégrales triples, nous trouverons encore la partie finie.

Soit d'abord un champ fini, variant d'une manière continue avec un paramètre \ et une fonction tp, sous le signe, continue ainsi que ses dérivées premières en jc, y, c, À.

I^'orriions l'intégrale tiiplo et calculons la dérivée en )>, en établi^sanl, (raj)rès INI. ( !. Jordan ('), la foiinulc (r( ).stro-

(') Cours d'Analyse, l. JJI : Oaicul des variations.

cnAP. n. — l'équatiox des ondes généralisée. 67

gradski, simplifiée pour noire usage. Soil

1=/ / I o(x,y, z) dx dy dz ;

le champ d'intégration W, comme o, dépend d'un paramètre X,

I + Al

: / / / ( o -H Ao ) c^x c// dz.

(W + Avv)

Nous voulons calculer

.. Al

^:r- = un , d\ AA

Pour cela, amenons les deux intégiales à avoir même champ d'intégration. Nous y arriverons en faisant correspondre à tout point (.r,jy, *) de (W-t-AW) un point (X. Y, Z) de W par les formules

avec la condition que la transformation vaille pour passer d'une frontière à l'autre (|, t), t sont des fonctions infiniment petites de l'ordre de AX).

Alors

J étant le jacobien,

à', dZ

Or,

Or, dZ

w étant la fonction o -I- A-^ exprimée en X, Y, Z. On a

d\ âri d^ . ,. . ,, ,

J = i-)---ïr-+--rî7-l-^„-l- int. |)elil d ordre ?.. dx 01 oL

A(p(:r,^,2)= Acp(X, Y,Z)+...= ^AX^..

Donc

^l^J = ,(X,Y,Z)-^^AX-.[^(,0^^(9.)-^,4(^^.]-.... Enfin, Ton a

D'où la dérivée, en remarquant que ;, tt), ^ contiennent AX en facteur.

Représentons lim ( -rr- ) par ^', etc. Nous avons une inté-

grale étendue au volume W et une intégrale étendue à son contour i :

~*~ / / 'Ï'C?' cosa -I- TTj'cosp -H Ç' ces-/) rf<r.

Il était clair que seules les valeuis de ^', t/, Ç' sur }ÎI interviendraient.

(Nous avons repris la notation .r, >', - au lieu de X, Y, Z.)

Nous aurons à faire de cette formule l'usage suivant : W sera le volume ABC limité par le cône A de A et par la frontière donnée S. Dans certains cas, W sera seulement la portion de ce volume située au-dessus de la section hoiizontale MN.

Le paramètre À sera Tune des coordonnées .r^, jj'p, Zf, de A. Enfin l'on ;iura à considérer le volume limité par le cône A comme la limite du volume limité par l'hyperboloïde / (pointillé)

nilAl». II. — l.'ÉQl ATIOX DKS ONDES (JK.NKKALISÉE. 69

Lorsque t tend vers zéro, suivant une loi (jueicotique, l'on voit que :

vol. ahc = (r tend vers W = ABC;

aire bc tend vers aire BC;

aire mn tend vers aire MN;

aire ahc = ). tend vers aire ABC ^r A.

Fig. 20.

A (ae.,y.,z. )

Lorsque W sera MNBG, A sera, bien entendu, l'aire correspondante du cône.

Soit alors

\= Ç f CfG dxdjdz.

P{a:, y, z) est Jini ainsi que ses dérivées premières et deuxièmes el G(j7 — -^o^ y — /oi -^ — ^o) •^s' infini sur A comme

L'intégrale 1 a un sens, d'après cela.

On peut écrire, par les mêmes considérations de convergence uniforme qui ont servi pour rintégrale simple,

c'est la dérivée sous forme immédiatement finie, et cela résulte de la formule (3), avec cette remarque

dit)

ÔG

dz '

OU bien encore

(6) — = lim

la limite existe, d'après (5), lorsque w tend vers W; nous écrivons donc aussi bien

J J J àz.

FGdz

Ceci nest rien de plus que ce qui précède, mais cette forme est utile cependant.

Dérivons encore, en écrivant (5) sous la forme

- — — Jj + Jj

(Jz„

Les mêmes remarques donnent, sous forme immérfiatenient finie,

w aire BC

et, sous forme àe partie Jinie,

(a) — i = lui.

M' aire X J