OS

De même nousavons— — , sons îovxne immédiatement finie

OZq

(d'après ce que nous avons fait sur rintéf;rale simple). Soit (o) celte expression que nous n'écrivons pas. Sous forme de partie Ji/iie,

aire bc contour hc J

11 est inutile d'écrire l'expression finie de y. Ayant ainsi

— J- = inlcgralr; finie ( p ) -f- intégrale finie (S),

nous sommes certains f|Me la somme des parties finies (a)

CHAP. II. — L EQUATION DES ONDES GENERALISEE. 7I

et (y) a un sens. Mais nous allons la transformer encore pour n'avoir plus à faire à -— - clans ( x). Il suffit toujours d'observer que

dz ôzq l'expression (a) devient

(8) lim

H- aire/. -h aire 6c

de sorte que (a) + {'() donne

(9) lim

- f FG/di]

contour bc J

Lorsque e tend vers zéro, l'intégrale triple n'a plus de sens el les deux, autres intégrales deviennent infinies comme

- et — • La somme étant finie et égale à (P) + (ô), nous écrivons encore (9) sous la forme

part. fin.

IlP'm

Remarquons que si W était MNBC au lieu de ABC, nous aurions des intégrales ayant un sens suivant bc et mn (au lieu de bc seul) se détruisant exactement, et dans (9) l'intégrale de contour bc devrait être remplacée par une intégrale de contour bc et mn, de même nature exactement, de la

forme -•

Les dérivées premières et deuxièmes en jc^ et Yq se présentent exactement de la même manière.

Nous avons désormais l'instrument indispensable, actuellement, pour l'étude complète de notre équation.

Ces parties finies proviennent de la légitimité de l'interversion de deux passages à la limite, interversion que l'on

peut écrire

DEIXIKME PARTIE.

Elles permettent de mettre en évidence certaines expressions qui, sans elles, restent voilées. Il est prudent d'avoir constamment sous les veux leur déjinilion exacte et Tcxpression immédiatement finie correspondante.

Nous pouvons maintenant faire la synthèse, la vérification , et une large extension.

k. Synthèse de la solution. — Grâce à ce qui précède, on prouve assez facilement que la solution «(.rg, j'qî --o) pi'cnd la valeur donnée à la frontière quand le point (j^^, y^, z^^) vient sur la frontière.

On distinguera deux cas :

I" k{u)z^o données non nulles., frontière quelconque. La démonstration est assez courte {Journ. de M. Jordan, 1906). Frontière caractéristique. C'est beaucoup plus difficile {Circolo niatematico di Palermo, igoS).

2" Passons au cas où l'on intègre A(m)=:F avec des données nulles à la frontière.

Dans le cas où la frontière est un cône A, on démontre que Wfl lend bien vers zéro quand le point (^^{x^, y^, z^ ) s'approclie du cône A.

(^uand la frontière est quelconque, l'emploi des parties finies montre rapidement (jue, Z étant la cote maxima d'un point de S compris dans l'intérieur du cône A^ de A :

/<u est de l'ordre de ( Z — Zq )'■' ;

duo àuo Ouo , j p j j /v \

— -^, , sont de 1 ordre de (Z — zA.

dzo Oxo dyo

Donc la convergence est démontrée encore. (Thèse, Journ. de M. Jordan, igo^-)

Et ceci nous permettra d'intégrer des équations beaucoup plus générales.

5. Vérification de la solution. — Enfin, de ce qui précède on peut tirer la vérification de l'équation.

Nous priîndrons le cas A(«) = F avec les données nulles sur la frontière, caractéristique ou non. Nous résumerons seulement la question. La fonction V étant complètement indéterminée au point A{x„,y„, z^), étant infinie sur la verticale As', a^ant ses dérivées infinies sur le cône, autour de A,

CHAI>. II. — l/ÉQUATIOX DES ONDES GÉXÉRAUSÉE. 78

nous ne pouvons parler des « parties finies » luitour de A. Donc nous isolons \ par le pl;in horizontal M.\.

Au volume AMN correspond une portion de "(^"o, Vç„Zo), soit u". Au volume BCMN correspond «',

U(Xo, Xq. Zq ) = u' -+- u".

Dans le volume AVIN on prendra les expressions immédiatement Jînies des dérivées. Faisant tendre AMN vers zéro, on obtient

A(m") = ¥{x^, yo, zo).

Dans le volume BCMN, en comparant les parties finies aux expressions immédiatement finies des dérivées, on a

Donc on a le résultat cherché.

La vérification serait bien plus facile à établir pour le cas A(«)= o, avec les données non nulles sur la frontière.

6. Intégratiox par approximations successives d'une équation PLUS GÉNÉRALE. — Rappelons les résultats obtenus pour A(//) :=i ¥ {jc. y, z). Etant donné le volume d'intégiation AlîC, nous considérons le volume majorant AB'C limité par le même cône A de \ et par un plan horizontal B'C de cote Z supérieure à la cote maxima de la frontière S,

2~M(a7o, jKo, So)= / / l ¥ —d-z