GÉNÉRALISATIONS ET REMARQUES

1. Équation d'ordbe n a 2 variables indéi'endantes. — On passe, sans grande difficulté, de ce qui précède à la théorie des caractéristiques dans le cas tout à fait général, le nombre des variables indépendantes étant deux {voir M. Goursat).

Pour l'équation

Ao/5«0 -t- A iPn-lA -H ... -h \nPon = O,

1 , . • 1 . dy ,

les caractéristiques sont données par -^ = A, avec

AqX" — Al X«-i-i- A2X«-2-t-, , .H(i)«A„ = o.

2. Travaux de M. Le Roux. — Dans sa Thèse (1894), consacrée principalement aux équations linéaires du type hyperbolique, dans le domaine analytique, M. Le Roux, met en œuvre celte idée ingénieuse : trouver une solution dépendant d'un paramètre z{œ, y, -j.) et choisir convenablement les limites de la quadrature

de sorte que X(j7, y) soit encore une solution. En parliculier, il retrouve ainsi et généralise les résultats de ^L^L Darboux et Appell relativement aux équations d'Euler et Poisson,

dz

X — y àx X — y dy

(Si ces équations ont été, depuis longtemps, l'objet de beaux résultats, c'est d'ailleurs parce que leur forme coiiespond à une propriété fonctionnelle simple. ( Voir, par exemple, le Mémoire de AL Biihl, Journal de A/. Jordan, 190^.)

M. Le Roux rattache ses Tiavaux aux méthodes de Riemann, de Picard, et à la célèbre iMélhode de Laplace {voir