TROISIÈME PARTIE
M. Daiboux. Travaux étudiés par M. Goursal, dans ses Leçons. Hermann), et il résout un problème iVin\'ersion d ' in trgra les dé fin ies .
Il étudie aussi les singiitarllés des solutions, (]iii dépendent ou de l'équation même ou des données sur la frontière (singularités accidentelles).
Plus lard {Journal de M. Jordan, 1898), il étend ses résultats aux équations linéaires d'ordre n à deux variables, puis {Journal de Al. Jordan, 1900) aux équations à n variables.
M. Le Roux a été ainsi progressivement amené à relier ses Travaux à l'étude des transformations infinitésimales {Journal de M. Jordan, 1908, et Travaux de l'U/iiversilé de Tiennes, 1906).
Retenons seulement ici que M. Le Roux a montré que certaines solutions, dites normales, ne peuvent admettre que des caractéristiques pour lignes singulières accidentelles.
3. Travaux di; MM. Delassus, Bianchi, Niccoletti. — D'autre part, dès 189.5, AL Delassus, dans sa Thèse sur les équations à caractéristiques réelles, dans le domaine analytique, fait usage de la notion fondamentale du domaine d'un arc (') et montre que les lignes singulières essentielles des solutions (celles au delà desquelles on ne peut prolonger analyliquement) sont, ou bien certaines lignes Jijces, ou bien des caractéristiques.
Dans cette Thèse, M. Delassus intègre, par approximations successives, d'abord les étjualions à une seule caractéristique,
dx" ^mJ ' Ox' Oy'''
puis les équations de la forme la plus générale, mises sous forme can()tii(|ue
w(s) = u{z), ayant posé
u{z) ne contenant que des dérivées d'ordre n — 1.
(') Kl;int donne un 'àvc analytique régulier AMB, on trouve une aire -Ai Venlnurant et Iclle (|ue, quel/es que soient tes données analytiques sur AiVlH, Yinlégrule est analytique dans «As.
GENERALISATIONS ET REMARQUES. 77
Enfin M. Delassus fait la belle extension suivante de la Méthode de Rieniann et de la Méthode de M. Picard. Soil
L'équation adjointe sera
d'où
dx dy àx dy
M, N, 0 ont des formes telles que l'on obtient une formule toute semblable à celle de Riemann par la même intégrale de contour.
Il est encore à remarquer que M. Delassus s'occupe, dans sa Thèse, de certaines équations à trois variables indépendantes, celles dont les caractéristiques ont une forme très particulière rappelant le cas de deux variables.
De leur côté. M. Blanchi et M. Niccolelti ont fait aussi de remarquables extensions de la Méthode de M. Picard et de la Méthode de Riemann à des systèmes d'équations du type hyperbolique.
La solution, malgré la complication des notations, est assez simple (' ) et fort élégante.
k Travaux de Mi\I. Tedone, Coulon, Hadamard. — Nous avons vu la haute valeur de l'idée de iM. V^olterra louchant l'étude de l'équation des ondes cylindriques généralisée,
A{u\= -r-7 + T-T — VT " = F(^'7'^)• A un autre point de vue et bien avant lui, Poisson et Kirchholl' avaient étudié l'équation des ondes sphériques
^ ' \dx-' oy dz^ a2 âty
(') L. BiANciii, Accademia dei Lincei, 1895. — O. Nicculktti, Acc. dei Lincei, 189J, el Mémoires délia H. Acc. di Napoli, i8y6.
"jS TROISIÈME PARTIi;.
Soil S une surface dans l'espace {.x. y, z), l étant regardé comme paramètre.
On donne pour / := o,
1 "^(-^'^''^'O) = ft(^iJ'^)>
soit
Poisson a donné ('), en 1819, la solution de B = o, sous la forme
11 y a grand intérêt à rattacher celle solution à un théorème fondamental de KirchhofT (Académie de Berlin, 1882; Annales de l'Ecole Normale supérieure, 1886). Ce théorème a été démontré aussi par Beltrami (Institut Lombard, 1889).
On peut aisément étendre la méthode de M. Yollerra aux équations de la forme
C'est ce qu'a fait M. O. Tedone {Annali di Matematica, 1898).
On peut également passer au\ équations étudiées par M. J. Coulon, dans sa Thèse:
r)n obtient l'intégrale par des dérivations répétées, et M. J. Coulon a obtenu une forme symbolique très élégante, en même temps d'ailleurs que, parallèlement à M. Il;ulaniard,
('j Voir lo hi'jiii Livre de M. Diiiicm : Leçons, sur l'Hydrod} nnniifjue et l'Elasliciié (Paris, Ilcrniann ).
