GÉNÉRALISATIONS ET REMARQUES

il obtenait des interprétations liydrodynamiques d'un grand prix {Thèse de M. Coulon, Hermann, 190:?).

Mais ici l'on doit faire une observation fondamentale.

Nous avons obtenu, pour A(«) = F, la valeur «(.ry, k^, s,,) en fonction de données situées à Vintérieur du cône A de A aii-dessus ou au-dessous du sommet.

M. Volterra s'est attaché à un autre problème, en plaçant les données sur une surface qui tourne aulour de A j', comme un cjlindre. Nous appelons ce nouveau problème \q problème extérieur et réservant le nom de problènie intérieur à celui que nous avons résolu ici complètement.

M. Volterra, puis M. d'Adhémar ont montré que le problème extérieur n'aura pas de solution, en général. M. Iladamard annonce que l'on doit modifier son énoncé et prendre un problème mixte, les données n'étant pas partout les mêmes [Leçons sur les ondes, p. 33 1).

Or il résulte d'une remarque de M. J. Coulon, qu'en général c'est le problème extérieur qui se présente seul lorsque p el q sont quelconques.

Ainsi, pour l'équation A''>?V=:o, de nouvelles recherches devront être faites pour compléter les résultats de M. J. Coulon. L'élude du problème extérieur devra être poursuivie.

Prenons la question de plus loin.

Quand on a des équations à plus de deux variables indépendantes, ni la question des caractéristiques ni celle des formes canoniques des équations ne se posent de la même façon.

Pour le second ordre, il résulte des travaux de M. Cotlon (nous l'avons déjà dit), qu'il n'y a plus un nombre limité de formes canoniques simples pour les équations linéaires.

11 faut donc étudier l'équation linéaire générale. M. Hadamard a commencé cette étude dans un remarquable Mémoire relatif au cas de trois variables indépendantes {Annales de l'Ecole Normale supérieure, 190/4 et igoS).

Ce Travail établit un lien entre les types hyperbolique et elliptique, par l'analogie des solutions fondamentales mises en jeu. Il faut remarquer que la méthode est limitée au cas de données analytiques et qu'elle conduit aux mêmes calculs que celle de M. Volterra pour l'équation étudiée

Dn voit iininédialement ([ue, pour notre équation