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V = loj
qui se déduit immédiatement de (I) par une quadrature.
Pour le cas linéaire général, on part toujours de la formule où entrent Vadjointe et la conormale, mais M. J. Hada-
mard cherche une solution fondamentale analogue de -5- et
non pas de V.
Ceci l'amène à étudier un problème résolu dans des cas spéciaux, d'abord par M. Picard {Comptes rendus, avril 1891, juin 1900), puis par MM. Hilbert, Hedrick, Fredliolni. Le Roux, Holmgren, Levi-Civita {Nuovo Cimento, Pisa, 1897).
M. Hadamard pari donc des solutions fondamentales en -^
(R étant, en général, une distance géodésique relative à une forme difTérentielle déduite de l'équation).
Il obtient encore, par une dérivation, la voleur de «(.Tf,, "»„, Cq) au sommet d'un conoïde caractéristique, qui est l'analogue du cône A.
La dérivation conduite ces parties Ji nies à^\n\.é^rd\Q?, dont nous avons longuement parlé à propos de l'équation des ondes.
Pour montrer la force de la modification que M. Hadamard fait subir à la méthode de M. Volterra, il nous suffira de dire que l'équation
A(j/)-i-K« = o (K = consl. )
est iuimédialement intégrée, sans la méthode d'approximations successives.
M. Hadamard a été plus loin encore et, dans un Mémoire qui sera prochainement publié {Acta mathematica), il étend ses résultats à l'équation linéaire hyperbolique de deuxième ordre à n variables.
La parité du nombre «joue un rôle prépondérant.
n étant impair, l'analogie avec notre équation des onde> est complète, it étant pair, la partie de la solulion fondamenlale qui conduirait à nos « parties finies » s'éliuiine
GENERALISATIONS ET REMARQUES. 8l
d'elle-même, et la méthode ressemble davantage à celle de Hiemanii {Comptes rendus, i3 février iQoS).
Il restera encore, pour le problème extérieur, des questions très difficiles à résoudre. Sans doute, comme le pense M. Iladamard, faut-il se placer à un point de vue autre que celui de MM. Volterra, Tedone et de l'auteur, et poser un problème mixte.
5. Remarqie sir la naturiî analytique des solltions. — On sait, depuis longtemps, que les solutions de l'équation de Laplace
sont analytiques. En 1890, M. Picard {Journal de l'École Polytechnique) a obtenu ce résultat remarquable qu'il en est de même pour l'équation
àz , âz
^z -\- a -T \- o- \- cz = o
{a, b, c étant analytiques). M. Hilbert a énoncé ^l M. Serge Bernstein a démontré ce même théorème pour les solutions de Véquation ellipti(jue la plus générale, à deux variables indépendantes.
Ajoutons que l'analyse de M. Bernstein repose sur un emploi tout à fait merveilleux des Approximations successives {Mathematische' Annalen, t. LIX).
Dans une courte Note {Comptes rendus, 1895) M. Picard a esquissé la démonstration du même tiiéorème pour l'équation linéaire générale, d'ordre 2/?, à caractéristiques imaginaires, à 2 variables indépendantes.
Pour les équations hyperboliques étudiées ici, il est clair que la solution n'est pas forcément analytique, et que l'on obtient cette solution àdLX\?,deux /•e'o'io/i.v dillerentes, séparées par la frontière portant les données. Autant de différences avec les équations elliptiques.
6. Remarque sur les systèmes d'équations du type hyperbolique. — La théorie des caractéristiques des systèmes, commencée par M. lladarnard, pourra sans doute résulter de l'étude minutieuse des travaux de MM. Méray, Kiquier, Bourlet, Delassus (*).
(') J. llADAMAiii), Soc. Math, de France, i(jo6.
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