Théorèmk d'existence. — L'on peut écrire

(l) P =f(-r, V, Z, q) =^Cn/.:/,nJ^''y'z'q'n,

puisque nous sommes dans le domaine analytique (la figure ci-contre n'est qu'un chème).

('^ Imschknf.tsky, Equations du premier ordre, traduit par Iloilcl.

— P. Mansion, Équations du premier ordre. Gauthier- N'illais, 1875.

— E. GounsAT, Équations du premier ordre. Hcrmaun, 1891. — S. Lie, Géométrie der Beriihrungstransformationen. Teubiier, 1896.

— E. Dklassus, Leçons sur les équations du premier ordre. Hcrinann, 1897.

CHAP. I. — EQUATIONS PU PHKMIl-U OIIDRK A n VARIABI-ES

L'on donne une courbe BOB' dans le 'plan vos, soit

Fi". 1.

El l'on cherche une surface intégrale passant par cette courbe au voisinage de l'origine

z = Aioa7+ AmjK -I- Aao.-J^^-l- Aiia-K -+-.

Donc les dérivées de z, par rapport à r, sont connues en o, c'est-à-dire

Ao2 = B2, ..., A,

Connaissant cj , en o, l'on déduit la valeur de /9, d'après (i). Dérivons, en y, les deux membres de (i). Gela nous donnera, sans ambiguïté,

d^z \ fdt>-^^z\

\d.vôy)o \

dxdy-^Jo

Ox ôyP j 0

Puis dérivons, en x une fois, puis en y. Gela nous donne, sans ambiguïté,

\d7^)o' '"' [àx^àyi'),'

Dérivons ainsi, tnéthodiquement, et nous obtenons tous les coefficients A^^p sans aucune ambiguïté.

Ayant obtenu la série formelle (3) il faut montrer sa convergence.

D'abord, en remplaçant z par z-hax, ce qui ne change pas la forme de (i), l'on fait disparaître le terme constant VjooOO"

Puis, M étant une constante supérieure au module maxi-

mum de y, M. Goursat choisit habilement la majorante II de/,

a est un paramètre compris entre o et i, R et p sont assignables d'après (i).

Faisant alors x -\- 'xy z=z u , M. Goursat montre aisément que Téquation différentielle

est une équalion majorante pour (i), c'esl-à-dire telle que le développement qu'on en déduit

([6) z = aiocr -+- Uo^y -i- a^o^^ -I- «h ^y + • • •

est convergent avec ««p > | ^a.^ !•

Or l'équation (5) admet une intégrale holomorphe au voisinage de o, nulle ainsi que la dérivée première, en o. Donc l'équation (i) a une solution holomorphe au voisinage de o.

La démonstration s'étend immédiatement d'un système du premier ordre k p fonctions z el p équations (*). Mais nous n'avons ainsi qu'une solution locale, comme dit M. lladamard, une solution autour de o dans un petit domaine. M. Goursat a, tout récemment, apporté à ce sujet des résultats nouveaux (|ue nous allons résumer.

2. Nouvelle expression de la solution. — Soient deux variables a:, y, dans leurs plans respectifs, soit D l'aire d'un cercle de centre Xq et de rayon R. Soit (© un domaine quelconque pour y (^).

Soit une fonction F(^, y) holomorphe quand a: est dans D el y dansdD. On peut la représenter par Sj ou par S2

(Si) Po(jK)-+- I'i(>-)(^-.ro ; + •••+ l\,(y){x-.To)" -\-...,

( S2 ) ^'^Aucict — .To )''Ky — jKo t^

(') li. GouHSAT, Cours, t. II.

(-; V,. GouKSAT. Soc. math, de France, 1906.

CHAP. I. — EQUATIONS DU PREMIER ORDRB A n VARIABLES. 9

P„ est holomorplie et la première vaut pour tout le domaine (D, (D); la deuxième série vaut seulement pour le domaine formé par D pour x^ et pour y par le cercle de rajon p^ (Pq dépendant dejt'o).

Fig. 2.

Fig. 3.

Inversement, si Ton a une série Si, les P„ étant holomorphes en r dans (D, et si, formant Sj en parlant de S,, on peut trouver en chaque point j'q un nombre po tel que S, converge pour \x — ^oi 5R, \y — j'o] Ip^,, R étant fixe, l'on peut affirmer que Si converge dans le domaine (D, (D) et représente une fonction holomorphe.

Cela posé, étudions l'équation

en supposant, ce qui est toujours possible, que Ton cherche la surface intégrale contenant la droite 5 = o, a; = ^o-

Supposons / holomorphe quand .r reste dans une aire circulaire D, de centre x^, de rayon «, z et fj dans des aires circulaires Dj, D3 de centre o, enfin y dans une aire (Ô.

Ecrivons donc notre équation

Cherchons la solution sous la forme

z = Oi{y)(x — X(^) -^. . .-\-Oniy)(^ —^n)" -^

Nous la trouverons convergente pourvu que l'on ait

|.r-.r„|rR,

K étant fixe, assez petit; et pourvu que y reste dans une aire OD' intérieure à (D.

L'on voit la grande importance de ce résultat, dans le domaine réel comme dans le domaine complexe. Par ce procédé

M. Goursat aborde l'étude d'une intégrale tout le long d'une caractéristique, courbe qui va être définie.

Voyons pour cela dans quel cas le théorèncie d'existence est en défaut.

3. Courbes d'exception. Caractéristiques. — Proposonsnous maintenant de trouver des courbes F

qui soient des cas d'exception relativement au théorème de Cauchy et de M""^ de Kowaleska;

ô^z dx dy'

d^z ^ d^z . iPz

dx'^ ' ^ Ox- ()y ' àx dy^ dy^

Dans certains cas, il sera préférable d'écrire

Poi =

ôz

d^z Jx^

Pll'=

àx ày '

On donne donc

Sur une courbe gauche C on donne l'intégrale, soit z{t). Sur G, p, «7, /", s, ... sont fonctions de /.

Dans quel cas C devient-elle une courbe d'exception T? z{œ^ y) doit être une surface intégrale, donc

dz = p dx -H g dy.

Sur C, les relations (i) et (2) /le renfcnncnl que t (et dt que l'on peut éliminer).

(1) et (2) donnent donc les valeurs de /> et 7, en l, si le jacobien n'est pas nul.

Posons

ôx le jacobien est

dx dy P Q

EQUATIONS Dl" PREMIER ORDRE A « VARIABLES.

Si J = o, on ne peut plus affirmer que (i) et (2) donnent p{l) et q{t) d'une manière unique, bien déterminée.

Si 3 ^ o, p et q sont bien définis, en t, de même /■ et s, d'après ces deux équations, conséquences de (i) et (2),

(3; X-^pZ-hPr -^Qs =0,

( 3' ) — dp -h r dx -H s dy = o,

De même, f et x sont définis par

(4) Y + ^Z-+-P5 +Qt = o,

(4) — dq -\- s dx -+- X dy = o,

équations en /.

J est le déterminant fondamental pour les deux systèmes. Si J = o, il y a impossibilité ou indétermination.

Si l'on peut trouver j;, y, z, p, q, en t, annulant tous déterminants de ce Tableau :

dx dy — dp — dq

P Q \^ pZ \ ^ q'L

l'on aura une courbe r', en x^ /, ^,/>, q, le long de laquelle r, 5, T seront indéterminés.

Adjoignons à (i) et (2) ces relations {avec ou sans t)

dx dy — dp -^ p" ~ Q" ~ X^/»Z

{=dt).

ce qui donne

dz dx

(= dt).

Ce système admet les intégrales premières

Gh{x,y,z, p, q) — Ch (/J = i,2, 3). On peut encore écrire l'intégrale de (6)

(I) J- = .r(<, Cl, Co, C3),

(II) y = yit.cu),

(III) z = zit, eu),

(IV) p=p(t,cn),

(V) q = q(t,Cfy).

Si J ;z^ o, toutes les dérivées de z s'obtiennent de même,

sur G, <I> étant une fonction connue de xyzpqrsi, provenant de la dérivée, en x^ du premier membre de (3), l'on a

(7) l' + Pa +QP =o,

(7') — dr -H a dx -+- ^ dy = o,

équations en /.

deux, systèmes analogues donnent (p, y) et (-y, 0).

I On laisse de côté des équations inutiles, car si les résulta / (y2:; \ d /d^-z\ ^ tats sont continus on sait que — - - — — =; — ( — - ; • • • •

'■ d.r \ôx oy / dy \0x^ / J

Si J = O, on a, au contraire, le résultat suivant : Complétons le système (6) en écrivant, à la suite,

dr — ds — dz

(6) (8) i=df)

Ce nouveau système (8) donne une courbe F" en .r, y, s, p, q, r, s, T le long de la((uelle a, p, y, 0 sont indéterminés.

Les courbes d^indétermination F', F", . . . ont toutes un même support, les courbes de l'espace (.r, y, z) définies par (.1), (II), (III). Nous les appelons courbes caractéristiques ou courbes F.

Puisqu'il y a trois constantes arbitraires, par tout point (.r", y^, 5") il passe une infinité simple de courbes F formant un conoïde.

Le cône des tangentes aux caractéristiques issues de (.r", j°, 5") a pour équation

il{x\y\ -0, dx, dy, dz) = o, résultat de l'élimination dey, q entre

l dx dy dz

f V Q P/^ + Qv

C'est le cône élémentaire (Klementar Kegel).

Ce qui est extrêmement rernan(ual)le, c'est que ces courbes F, exceptionnelles relativement au théorème Cauchv- Kowaleska, vont nous permettre de résoudre un problème plus général que le problème analytique qui a été notre point de départ.

CHAP. I. — EQUATIONS DU PREMIER ORDRE A Ti VARIABLES.

k. Intégration par les caractéristiques. — Regardons les courbes T indépendamment de leur origine naturelle. Soit une courbe r et un point quelconque (j?", jk", s") de r, correspondant, si l'on veut, à ^ = 0; donnons-nous arbitrairement /)" et ^" valeurs de /> et «7 pour / -— o : la courbe r' portée par F est définie sans ambiguïté.

Appelons intégrale une expression z{x,y), continue ainsi que ses dérivées des deux premiers ordres, non plus nécessairement analytiques, satisfaisant identiquement aux équations (i) et (2).

Ce qui précède veut dire ceci :

S'il existe des intégrales ayant en commun la courbe V et se touchant au point ^ =r o, elles se touchent en tous les points de T.

C'est la simple traduction de ce fait :

Au lieu des équations (I), (II), .... (V), Ton peut écrire

X^^iiJ, x\y\ z\ po, qO)

(des mêmes variables et paramètres).

Les surfaces intégrales se raccordant le long des courbes F, on peut espérer que, par des assemblages de courbes F, on formera elTeclivement des solutions. C'est ce qui a lieu.

Surface intégrale passant par une courbe gauche non caractéristique. — Soit U la courbe donnée, M un point sur U

rO= -,(«), y<^=gi{u), z0=ff3(u),

Fi g. 4.

soit F" l'une des courbes F passant par M, P un point (juelconque de F", défini par u et t {t^=o correspondant à M),

l4 PREMIERE l'ARÏIE.

Le lieu de r" formera une inlégrale si l'on a :

(a) o==F[x(t,u), y{t,u), z{t,u), p{(,u), qit,u)],

•^^ du ou -' Ou

^. dz dx dy

En vertu des équations (6) qui régissent les variations sur r" (où u est constant) la relation (7)3 toujours lieu et (a) se réduit à la relation en u

(i) F(iFO,j'»,z»,/?», g-oj^o.

Cauchy, d'autre part, a montré que l'on a

ou bien

— / Zilt

(3) H = HOf ''o

II" étant la valeur de H en M, sur U. Donc (P) se réduit à ll":rz o, ou bien

du du du

En résumé, par la tangente MT à la courbe U l'on mène un plan tangent au cône-élémentaire, ce qui détermine i ou m courbes F" d'où une intégrale à i ou m nappes.

Si, en un point isolé, m,, de la courbe U, l'on avait

dx" dy*> dui dui

po Qo

le cas le plus simple serait le suivant: p" et q° seraient fonc-

tions de {u — Wi )"*, c'est-à-dire que K nappes de l'intégrale

se raccorderaient le long de la caractéristique.

Solution conoïde. — L'on peut encore former une surface intégrale en prenant simplement le conoïde des caractéristiques passant par un point fixe il.

Un point (|uelconque est défini par t qui est nul en il et varie sur 1', et par u qui est la constante définissant V sur le conoïde.

CHAP. 1. — EQUATIONS DU PREMIER ORDRE A n VARIABLES. l5

Le calcul de Cauchy, identique au précédenl, inonlre que l'on a une intégrale si

/>' et (/' sont variables, fonctions de u.

En effet, comme précédemment,

ôt àt du '

— I 7.dt

H = Hig ^0

or l'on a II* ee^ o puisque œ,, /j, c, sont constants.

Remarque. — Dans tout ceci les éléments peuvent n'être pas analytiques. Il suffit que, d'une manière quelconque, l'on puisse intégrer le système (6) du n" 3, c'est-à-dire (jue

P, Q, \-hpZ, y-\-gZ

soient continus et non tous nuls à la fois au point initial M ou 12 : ; =: o.

Dans le domaine analytique le système (6) donnerait la solution inacceptable

X = consl., de même y, z, p, (/.

Dans le domaine général il n'y aurait de résultats précis que dans des cas spéciaux. Nous supposons essentiellement Z Jini, pour tirer de (3) notre conclusion.

Nous allons maintenant, d'après un beau Mémoire de M. G. Darboux {Savants étrangers, Institut de France, i883), étudier les solutions singulières, dont Lagrange avait déjà parié, mais d'une façon incomplète.

if) PREMIÈRE PARTIE.