Solution singulière. — Nous supposerons toujours
Oz Supposons p el tj éliminés entre les équations F=o. P = o, Q == G.
M. Darbou\, qui avait résolu un problème analogue touchant les équations difTérentielles, a démontré ce théorème :
« Le résultat de l'élimination donne, en général, une surface R(.r. y,z)^=o, lieu des points de rebroussenient des caractéristiques. »
Et Ton a les singularités réciproques en remplaçant P par X + />Z et Q par Y + q'L.
Définissons maintenant, avec M. l)arl)ou\, la solution singulière de F rrr o comme surface w(,r,j') satisfaisant à la fois aux équations :
équations qui, dans ces conditions, entraînent les suivantes :
( X -h pZ = G, ( \ -\-qZ = o.
(JJérii'er F en a;, en tenant compte de ce que c, />, q sont fonctions de x, et tenir compte de P =: Q t=o; c'est immédiat.)
Etudions, au voisinage d'une intégrale singulière (quand elle existe), les caractéristiques. Soit
z = ix>(x,y)
cette intégrale, faisons
et écrivons Pé(|uation, d'après Z ^ o, sous la forme (I) z — <l'(x,y,p,q) = o,
cplte équation devient
CllAP. T. — ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE A n VARIABLES. \~
si, pour la première, l'on a
l'on en déduit, pour la deuxième, les relations analoi^ues. Donc une singulière se transforme ainsi en une singulière. Donc nous pourrons : i° partir de la forme ( i); 2" supposer que la singulière est
Précisons la forme de ( i ) en prenant le cas le plus simple:
W étant analytique au voisinage de (o, o, o, o) et contenant partout, ou/?-, ou cj- en facteur.
Regardons le système (6). Si nous voulons que le point initial d'une caractéristique, situé sur la singulière, corresponde
a t = o, nous remplacerons eu par -r- et nous aurons le système
Avec M. Darboux, posons
alors z, d'après (i), contient le facteur 0^, d'où
X = X'62, Y=Y'02, avec
P'= Ay/-t-B^'-f-..., Q'= Bp'-hCr/^.. ..
Nous pouvons alors intégrer le système en choisissant arbitrairement
if^-\' ^__Y'
[ clii ~ ' dH ^
Nous avons
P'û= Aa-t-B;3, Q'o=Ba-^CP, Scientia, n" '29. '•!
d'où
PREMIERE l'ARTlE.
z = KO--!
Voilà une caiacléristiqiie passant par le point (o, o, o) de rintégrale singulière et tangente à la singulière.
Elle contient une seule constante ^ j car le système difl'é-
rentiel ne change pas par la substitution 6, GO.
Ici le cône élémentaire (Elenientar Kegel) est un plan, le plan tangent à la singulière.
Dès lors, comment former l'intégrale si la courbe donnée U devient une courbe V tracée sur la singulière?
Fiff. 6.
Soit M un point de V, de paramètre tr. L'on a, bien entendu, F ^ o, quelle que soit la caractéristique r et quel que soit le point P et
Ox
11 faut avoir, quel que soit F,
Or,
^,, dz Ox dy
Il faut donc avoir
11 =//jO.
CHAP. I. — KQCATIONS DU PREMIKR ORDRE A n VARIABLES. I9
m est une fonction de a qui doit s'annuler sur la courbe V
à^z" d^xo d^y" 'Ipo dx" da^ dy»
Les trois premiers termes sont nuls ; il reste
dxo , dy'i de ' ' d<7
ce qui achève de définir la car aclé ris tique à choisir en M.
Ainsi, dans le domaine analytique (l'extension serait difficile), M. Darboux a montré que la courbe U définit encore une surface intégrale si elle devient une courbe V tracée sur la singulière.
En particulier, réduisons V à un point : Toutes les caractéristiques passant par uri point fixe de la. singulière forment une surface intégrale. (Ici m ^ o.)
6. Théorie de Lagrange. — Il est utile de faire l'histoire de ce problème, car cette histoire montre admirablement de quelle manière se fait le progrès dans les Mathématiques.
Les hommes de génie, comme Lagrange, font rarement de grosses erreurs, mais souvent leurs points de vue ont besoin d'être précisés et, en partie, modifiés. Ce qui prouve uniquement l'extraordinaire effort du précurseur.
Lagrange disait : Soient a, b deux constantes et une surface
L'on a, sur la surface.
Eliminons a, 6, il vient (I) F(a-, y, z,p, g) = o.
Lagrange supposait implicitement que toute Téqualion du premier ordre a la môme origine que (I).
Il en concluait que, connaissant une intégrale complète (i), on obtient toutes les intégrales de (I) :
1" En donnant h a, b toutes les valeurs, on a toutes les complûtes ;
2" En posant /> ~-z '^{o) (^ arbitraire) et en prenanl Tenvetoppe, on a les intégrales gc/ié/ales:
3° En prenant lenvcloppe de toutes les complètes, on a la singulière.
Tout cela est parfait si (I) a l'origine dite. Et encore, les grands théorèmes d'existence de Gauchy ont fait pressentir de plus en plus que les solutions des équations telles que (1) n'ont d'existence que dans un champ très limité du domaine analytique.
Ainsi, le théorème de Gauchy et de M™" de Kowaleska nous fournirait (j), étant donné (I), rpais pas sûrement, dans un champ suffisant pour que soit applicable la théorie des enveloppes.
G'est ainsi que M. Darboux. a repris à neuf toute la théorie des singulières.
En général, il n'y en a pas.
Si elle existe, elle jouit des principales propriétés de la singulière de Lagrange, ainsi <|ue nous l'avons vu.
