ÉQUATIONS GÉNÉRAI.KS DU SECOND ORDRK A DEUX VARIABLES INDÉPENDANTES

La théorie des équations du second ordre a été l'objet de travaux de caractères très divers, que l'on ne saurait résumer

r, 5, / étant les dérivées partielles de z en j?^, xy\ y^, Monge Qi Ampère ont, les premiers, étudié les équations

( i) H r -t- -i K5 -t- L / + AI + N f /7 — .«2 ) = o.

H, K, . . . , N étant fonctions de x, j', z^ />, q.

Très anciennement, Euler avait obtenu des résultats notables touchant des équations, cas particuliers de celles de La place :

ÔT oy Ox oy

Autrefois, l'on ne doutait pas de l'existence des solutions, sous forme explicite, avec des fonctions arbitraires dans leur expression valable pour tout l'espace.

Cauchy est venu restreindre nos ambitions en recherchant, dans un domaine restreint, une surface intégrale, analytique, pour l'équation la plus générale :

surface astreinte à passer par une courbe C avec un plan langent donné le long de C.

L'on démontre un théorème d'existence analogue à celui du Chapitre I, sauf que, au voisinage de o, l'on donne, en outre, les valeurs analytiques de p et q. Comme précédemment, l'on passe de la courbe située dans le plan zoy à une courbe quelconque.

Nous allons voir comment se présente le j)roblèine de Cauchy.

En même temps, comme pour les équations du premier ordre, nous rechercherons les multiplicités pour lesquelles

"XI PREMIKRK PARTIK.

le théorème est en iléfaiil et nous chercherons à faire apercevoir quel est le rôle de ces caractéristiques d'un nouveau genre.

Monge avait, à son point de vue, reconnu le rôle de cet élément fondamental. M Goursat a fait pleinement connaître ses travaux et les admirables découvertes d'Ampère.

Les caractéristiques tout à fait générales, lelatives à l'équation (3). ne jouissent pas de certaines propriétés spéciales à celles de (i) et qui font de ces équalions de Monge-Ampère une classe d'équations tout à fait à part.

Nous renvoyons encore, pour l'historique, aux Ouvrages classiques (').

Le lecteur s'apercevra que nous sommes ici assez loin du degré de perfection qu'a atteint la théorie dans le cas du premier ordre.

1. Caractéristique di; second ordre. — Nous suivons pas à pas M. Goursat. en modifiant un peu la forme seulement.

Cherchons donc une courbe F en .r, y, c, /?, 7, ...,/, qui sont chacune fonction de 0, telle que le théorème d'existence tombe en défaut.

L'on a le système

(1 ) Fia-, j, z, i>. (/, r,s, t) = o \

(3) — dp ~ r dx -^ s dy — o > équalions en 0. ( 3' ) — dcj ■^- s dx -r t dy = o )

Pour que l'on ne puisse tirer r, .s, / du système, sans ambiguïté, il faut que le jacobien soit nul :

(4) n^^] =1 dx-^—^^dxdy -\-^dyK Nous posons toujours

Ox dp (Jf

Nous suj)posoris <jue Ton n"a j)as une intégrale <x){j-, y) satisfaisant à la fois aux équations

dite solution singulière. Ce serait encore une question à étudier séparément.

(') Imschknf.tsky, h'qiialions du deuxième ordre. Inid. Ilouel. — GhainuoRGE, Équalions du deuxième ordre. Bruxelles, llaycz, iS^i. — Vj. Goursat, Equations du deuxième ordre, • vol. I'yri<, Homninn.

CHAP. II. — EQUATIONS DU SECOND ORDIŒ A DEIX VARIABLES. V.3

Aux équations (i), (3), (3'), (4) adjoignons d'abord

( 2 ) dz = p dx -f- q dy,

puis celle qui exprime que, si /■, .v, t sont des fonctions connues de 0, il y a iudélerniinalion pour les dérivées troisièmes

^' ?, Y^ "5 ou 7^30, /)21, Pli, P03-

Si nous posons

X, = Y -^ pZ-hr\'^sq,

nous avons, pour déterminer a, j3, y, o, le système Xî+ Ra-t-S^^Tv^o,

— dr -f- a dx + Jî r/r = o, Y,+ REi^SY + TÔ==o,

— dt -f- Y dx -h à (/y — o

dont le déterminant est D =r — J :

dx • dy o o I o o dx dy I

Donc, annuler D, c'est écrire l'équation (4). Supposons que ni R ni T ne soient identiquement nuls; nous prenons pour déterminant principal celui qui est marqué

D' = T2 dy.

On peut alors prendre a (pielconque, 3, y, 3 seront déteiminés si Ton a

dr

dl o dx dy

Développons et tenons compte de ce que la dilTérentielie de F est nulle, d'après (i) Xi dx — Yi dy -^l\dr~-Sds-^Tdf = 0 ( éqnal ion en 0, dd ).

Tenons compte, aus>i, de l'équation ( 'i ). Il vient

„ ds . dr

dy dr

Soit donc le système (i), (a), (3), (3'), (4), (5), nous avons six équations différentielles, et, si nous faisons, par e\en)ple, x nz 6, nous avons sept fonctions inconnues de x.

I-a solution contient une fonction arbitraire. Four une telle solution, dans les termes du développement de Taylor

formel, le coefficient de -r—- est arbitraire.

Cette solution /(j:*), -(^), p{^), ■ • ■ -, t{^) est dite caractéristique de (i).

Ceci est le cas général, RT n'est pas identiquement nul. D'autres cas peuvent se présenter :

Cas A. — Si l'on avait T^o et l\ non nul, riMpiation (4) se dédoublerait explicitement en

I î j R dj — S d.T = G,

( i") . dy = o.

Axec (4') l'on n'a qu'à conserver (i), (2), ..., (5). Avec (4") l'on a des changements notables : (5) devient

dx dx

Cas B. — Si l'on avait T ^ o, R ^ o, Féquation (4) donnerait

(D dy^o;

d'où, pour (5), les formes

{'y) Xi4- s -j- = G,

dy ds dx

Cas C. — Si la relation S^ — [\l\T ■=. o découlait de F = o,

l'équation (4) aurait constamment une racine double en -~\

dx

d'où des caractéristiques ayaut des propriétés spéciales.

Cas D. — Enfin, pour les ('([nations de Monge-Amj)ère, si on laisse de côté (3) et (3'), l'on a le système

I H dp dy -+- L dq dx -H I\l dx dy -^ ^ dp dq =0,

• H dy^ — iKdx dy -\-h dx^ -^- ^{dp dx -^ dq dy) = o, \ dz =^ p dx -(- q dy ;