CHAI*. II. — ÉQUATIONS DU SECOND ORDRE A DEUX VARIARI.ES
d'où r, s, t sont exclus. L'on peut, ici, détacher de la caractéristique du second ordre en ce, y, . . . , g, /•, 5, t une caractéristique du premier ordre en a:, v, z. p, q; d'où l'allure spéciale de la théorie des équations de Monge-Ampére, avec les intégrales intermédiaires.
En tout cas, une différence essentielle est déjà apparue entre les équations d'ordre un et celles d'ordre deux.
Appelons caractéristiques d'ordre zéro, un, deux, . . . des multiplicités d'exception relativement au théorème de Cauchv-Kowaleska, contenant z seul, ou ses dérivées premières, ou celles du premier et du deuxième ordre, ....
Pour les équations du premier ordre, l'on obtient normalement des caractéristiques d'ordre un dont se détachent tout naturellement des caractéristiques d'ordre zéro : des courbes ordinaires. En un point il y a une de ces courbes V dans le cas linéaire, et un conoïde de courbes F dans le cas non linéaire.
Alors l'intégration est immédiate.
Ici, au contraire, il y a une fonction arbitraire dans les équations des caractéristiques qui sont d'ordre deux.
La question est donc tout autre.
Pour préciser, poursuivons notre élude.
Supposons connues, sur la caractéristique d'ordre deux, toutes les dérivées secondes et cherchons, pour les dérivées troisièmes, des valeurs telles que les dérivées quatrièmes soient indéterminées.
Sur une intégrale, s, p, q, . . .sont fonctions de x et y. Supposant ces valeurs portées dans (i), cette équation devient une identité
F(^, JKj = o;
toutes les dérivées partielles sont aussi identiquement nulles. De même que nous avons écrit déjà
dx
écrivons aussi • 02F
dx dy 0^¥
= Xî + R/331-+- S/?22+ T/<,3= o,
"16 PRKMIKRE PARTIE.
Adjoignons-}' les relations fondamentales
— dp^o-^ Pio dx -^ p3i dy = o,
— dpi2-i- P2-2 dx -T- pisdy = o,
— dpo3 -h- pndx-h />o4 dy = o.
Nous avons cinq équations pour nos cinq inconnues. Le déterminant D,-r=c/)'D; si Ton a RT ^ o, nous prendrons pour déterminant principal le mineur Dj (séparé par le pointillé)
dx
dy
dx
dy
dx
dy
Dans ces conditions, d'après (4), Ton a I), ^ o. Si Ton se donne arbitrairement p,,„, les autres dérivées sont déterminées sans ambiguïté si le déterminant D'j est nul (théorème classique dit t/e Bouché) :
D'; = dy
- \ { R S T d/'io dy o o dp\i o dx dy
Or ce déterminant ne dilTère de D" que pai- la première colonne. Il est inutile de le calculer, puisque D" a été développé.
Tenant compte de la relation
<<lg) = X,rf..
'f'S'ly
expression en 0 identiquement nulle sur une intégrale, et de la relation (4), Ion trouve l'analogue de (5) :
Xj devient Xj,
P\\ » Pi\\
dx dy
Si aux équations de la caractéristi(|ii(; d'ordre deux nous
CIIAP. II. — EQUATIONS Dl' SKCOND OROKE A niUX VARIABLES. 9,7
ajoutons celles-ci : d'abord (6), puis
dpi» = /Ho (l^' - /'21 dy, fipw = Pu dx -^ Pi, dy, dp^>i — p\o dx 1- /Ji,3 dy,
nous ajoutons quatre équations et ({uatre inconnues; nous aurons donc, avec le même degré d'aibitraire, des caractéristiques d'ordre trois, multiplicités telles que Ton puisse se donner arbitrairement p^^ et que les autres dérivées quatrièmes s'en déduisent pour la formation de la série formelle représentant z{x, y).
En faisant les calculs de la même manière, l'on atteint le cas le plus général.
Une caractéristique d'ordre n s'obtient en ajoutant aux. équations des caractéristiques d'ordre {n — i) les suivantes :
dx dy
-dp,i-i,n + p„,u dx -f- /?„,,, dy = o,
- dp^^n-i -+- Pi,n 1 d:v -+■ po,n dy — o.
Par exemple, Dj, en choisissant bien parmi les équations employées, sera de la forme
