CLASSIFICATION DES TRANSCENDANTES QUI INTÈGRENT LES ÉQUATIONS
i. Décomposition de l'ensemble des équations linéaires d'ordre n. — Les théorèmes de M. Picard donnent une première subdivision des transcendantes qui intègrent les équations différentielles linéaires à coefficients rationnels d'ordre n. Nous rangerons dans la même classe toutes celles de ces équations qui ont le même groupe de rationalité. Il y a donc autant de classes d'équations linéaires d'ordre n qu'il y a de types de groupes algébriques dans le groupe linéaire homogène général à n variables. Toutes les
C'est ainsi que les équations considérées par M. Fuchs, et dont les intégrales sont régulières en leurs points singuliers, seront séparées des équations dont les intégrales ont des points essentiels compliqués et appartiendront à des familles dont les singularités ont des groupes très simples, analogues à ceux étudiés au Chapitre I, n° 7.
Enfin, notre dernière subdivision consistera à revenir aux ensembles d'équations linéaires, considérés par Riemann (Zwei allgemeine Sâize uber lineare Differenlialgleichungen) ; nous rangerons, dans une même espèce, toutes les équations obtenues en faisant, sur une équation déterminée
la transformation
où les expressions A , A,, . . ., A,,.., sont des fonctions rationnelles.
Les équations d'une même espèce ont évidemment même groupe de
équations d'une même classe ont même théorie d'intégration (voir Vessiot, Annales de V École Normale; 1892) et définissent des transcendantes qui sont liées à leurs dérivées et à la variable indépendante par des relations rationnelles tout à fait analogues.
Le calcul de ces transcendantes exige l'intégration de l'équation f= o, I
d'ordre égal à celui du groupe de rationalité; on peut donc dire, à ce point de vue, que ces transcendantes sont d'autant plus compliquées que le groupe de rationalité aura plus de paramètres. Ce n'est pas là le seul élément de complication : la structure du groupe joue aussi, comme nous l'avons vu, un rôle essentiel.
Les principes qui nous ont servi à classer les points singuliers nous permettent de poursuivre la classification donnée par M. Picard. Considérons, en effet, la classe d'équations différentielles linéaires ayant le groupe de rationalité G. Les groupes de méromorphie attachés à leurs points singuliers sont des sous-groupes G n . . ., G N de G; nous réunirons, dans une même famille, celles de ces équations linéaires qui ont
5 points singuliers de groupe G, s x » » » G lt
-J-KJ
monodromie; nous allons démontrer qu'elles ont même groupe de rationalité et que les groupes de méromorphie, relatifs à leurs points singuliers, sont les mêmes. Il en résultera que toutes les équations d'une même espèce appartiennent à une même famille; la dernière spécification s'obtient donc bien en subdivisant les ensembles déjà formés.
2. Équations linéaires appartenant à une même espèce. — Il est bien certain que le problème de l'intégration est du même ordre de difficulté pour toutes les équations d'une même espèce. D'une façon plus précise, M. Schlesinger a démontré que :
Toutes les équations d'une même espèce ont même groupe de rationalité.
Avant de connaître les travaux de M. Schlesinger j'avais obtenu les mêmes résultats, par la démonstration suivante :
Supposons que la transformation (2), effectuée sur l'équation (1), nous conduise à la nouvelle équation
Je puis former pour ces deux équations la même résolvante d'ordre n 2 , en posant
V = «!/!+. .. + a n y n h- b t -£+...+ l n â x Zî >
= « i Y t + ... + «,»Y, t +p 1 -^ -+-... + *„ rfa . <t , l * -
L'égalité a lieu en vertu de l'équation (2) et des équations obtenues en la différentiant.
La résolvante d'ordre n 2 nous conduira à la même équation (/)
dV «frv\
dx ' " " ' dxP ) "" '
rationnelle par rapport à toutes les variables, et deux systèmes fondamentaux correspondants des deux équations s'exprimeront en fonction d'une intégrale de (/) par les formules
dV dp\\
dx dxP )
de sorte que, l'intégrale V° nous donnera les systèmes fondamentaux
(y% • ■•>/:) et ( Y ï> •••> Y °) et l'intégrale V les systèmes (y\, ...,y l a ) et (Y], . .., Y, 1 ,). Les équations du groupe de rationalité de la première équation sont
et il est évident que l'équation (2) nous conduit aux mêmes relations entre les intégrales (YJ, . . ., YJ) et (YJ, . . ., Y* ); les deux équations ont donc même groupe de rationalité.
En supposant que l'équation (/) a seulement ses coefficients méromorphes au voisinage du point singulier a, la même marche conduit au théorème :
Le groupe de méromorphie relatif à un point singulier a est le même pour toutes les équations d'une même espèce.
Ce théorème comprend toute une série de remarques qui ont été faites depuis longtemps [Poincaré, Mémoire sur les fonctions zêta-fuchsiennes (Acta mathematica, t. V)]. C'est ainsi que, au voisinage du point a, les nombres des intégrales méromorphes, des intégrales qui restent régulières, des intégrales normales, etc., sont les mêmes pour toutes les équations de l'espèce considérée.
3. Invariants communs à toutes les équations d'une espèce. — Le groupe de rationalité et les groupes de méromorphie constituent donc des éléments invariants appartenant à toutes les équations d'une même espèce. Il est intéressant de faire connaître des invariants d'une nature toute différente et qui permettent souvent de décider par un calcul très simple si deux équations linéaires peuvent être de même espèce.
M. Thomé a montré que, si a est un point singulier d'une équation linéaire (1), on peut, en général, trouver n expressions de la forme
Qz étant un polynôme en et o t une constante, qui satisfont formelle-
ment à l'équation différentielle. Ces séries normales ne sont pas convergentes en général, mais on peut cependant démontrer le théorème suivant :
Les polynômes Q, restent les mêmes pour toutes les équations d'une même espèce et les exposants p,- ne varient que d'un nombre entier.
LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET LA THÉORIE DES GROUPES. 3q
En effet, imaginons que l'on effectue sur l'équation (i) une transformation (2) déterminée; on peut calculer algébriquement les polynômes Q et les exposants p pour les deux équations. Mais, dans le cas où les séries normales sont convergentes, le théorème est évident et le calcul supposé fait en doit constater l'exactitude; il est donc vrai dans tous les cas, car l'hypothèse de la convergence des séries n'intervient jamais dans la recherche des polynômes Q et des exposants p.
Dans certains cas spéciaux, il est impossible de trouver n développements
(4) vérifiant formellement l'équation différentielle. M. Fabry (Thèse de Doctorat, i885) a fait voir qu'on peut alors former des séries de la forme suivante :
(5) ! e '\ : * ::r "/(.r — . a)?i[f (x — a) -h log(x — a)f x (x — a) H-...
( H- log*- 1 (x — a)/x-i (x — a)] ,
où Q/ est un polynôme en (x — a) ", p £ une constante et / , f n . . ., fx {
des séries ordonnées suivant* les puissances de (x — a) n et, en général, divergentes. Ces séries anormales satisfont formellement à l'équation linéaire et la formule (5) donne un groupe de \n développements linéairement distincts.
On peut alors démontrer comme plus haut que :
Pour toutes les équations différentielles linéaires de même espèce on obtient les mêmes groupes de séries anormales; les polynômes Q i} les nombres n et\ restent les mêmes et les exposants p ne varient que d'un
multiple de - •
Les coefficients des polynômes Q et les exposants p sont des fonctions algébriques des coefficients de notre équation linéaire (1), qui sont invariables par rapport à toutes les transformations (2).
L'ensemble de ces transformations, qui font passer d'une équation de l'espèce considérée à une autre, forme évidemment un groupe. Mais ce groupe est tout à fait différent des groupes considérés par M. Lie. Il contient un nombre quelconque de paramètres arbitraires et ne peut être défini par des équations différentielles. On peut le rapprocher du groupe formé par l'ensemble de toutes les transformations birationnelles qui font passer d'une courbe algébrique appartenant à une classe déterminée à une autre courbe de la
même classe. L'existence d'invariants algébriques appartenant à de tels groupes est intéressante à signaler.
Ces fonctions invariantes nous donnent des conditions nécessaires pour que deux équations linéaires soient de même espèce; ces conditions ne sont pas suffisantes. Alors même que les équations ont même groupe de monodromie, elles ne sont pas suffisantes, sauf le cas où les séries normales (4) ou (5) sont toutes convergentes.
Peut-on trouver un système d'invariants donnant les conditions nécessaires et suffisantes?
Dans le cas particulier où les intégrales de l'équation sont régulières aux points singuliers, M. Poincaré (Acla mathematica, t. V) a montré que la réponse est affirmative. Il a appris à former une équation réduite qui caractérise chaque espèce d'équation linéaire. Les coefficients de l'équation réduite seront les invariants cherchés.
Puisque les invariants donnés plus haut sont relatifs à la partie en quelque sorte essentielle des développements des intégrales aux points singuliers, il y a lieu de croire que le théorème de M. Poincaré est général. Je n'ai pu en trouver de démonstration satisfaisante.
Cependant, je puis énoncer le résultat suivant :
4. On peut reconnaître, par un nombre fini d'opérations, si deux équations données sont de même espèce.
Supposons que la transformation (2) fasse passer de l'équation (1) à l'équation (3) et considérons le système
d n ~ x Yi
Yi-=A yi 4- ... -h A„i ^ xn i
On en déduit
:«!¥,-+-...+ tt n Y n ,
où l'on a posé
yn
yn
1 dï
Les fonctions u n u 2} ...,w„ forment un système fondamental de l'adjointe de Lagrange relative à l'équation (1). (Darboux, Leçons sur la
LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET LA THÉORIE DES GROUPES. l\l
Théorie des surfaces, t. II, Chap. V); cette adjointe s'écrit :
La fonction A*., est donc une intégrale particulière de l'équation linéaire admettant les n 2 intégrales w,Y* (i, k = i , 2, . . ., n). Cette équation est d'ordre n 2 en général et on la forme facilement comme il suit :
Posons
et différentions cette équation n 2 fois en remplaçant, lorsqu'il y a lieu, 3— -
d n \ et -1—^ par leurs valeurs tirées des équations (6) et (3). Nous obtenons un
système de/i 3 +i équations (7) exprimant U et ses n 2 premières dérivées en fonctions linéaires et homogènes des produits
dPd* (r,s = o 9 i 9 2 9 ...,n-i).
En éliminant ces n 2 quantités, nous obtenons une équation linéaire homogène d'ordre n 2 à coefficients rationnels
Si les équations (1) et (3) appartiennent à la même espèce, cette équation (8) admet une intégrale rationnelle A,,,.,.
Il est facile de voir s'il en est ainsi :
Les pôles des intégrales rationnelles de (8) sont les points singuliers a, 6, . . ., / de cette équation; l'ordre maximum du pôle a est la valeur absolue a de la plus petite racine négative entière de l'équation déterminante relative au point a. Par conséquent, le produit
est un polynôme entier qui vérifie l'équation linéaire obtenue en posant
Il est facile de former cette équation à partir de l'équation (8)
rf-D,
l\7. F. MAROTTE.
et nous sommes ramenés à rechercher si cette équation admet comme intégrale particulière un polynôme entier. Le degré de ce polynôme est inférieur à la plus grande racine positive entière de l'équation déterminante relative au point à l'infini. La méthode des coefficients indéterminés permet donc le calcul du polynôme A), 4 au cas où il existe.
Supposons qu'il en soit ainsi et que l'équation (8) admette une intégrale rationnelle connue A,, f . Cette intégrale s'écrit
mais, en choisissant convenablement les intégrales Y, on peut la mettre sous la forme
La fonction A n t étant calculée, les fonctions A n k s'en déduisent facilement. On a, en effet,
A„-*= CtYj-h.. .-hf„Y w .
Les fonctions v t vérifient une équation linéaire d'ordre n } que M. Cels a étudiée sous le nom d'adjointe de la n — k ième ligne de V équation (i); il a montré que l'intégrale ^ s'exprimait en fonction de l'intégrale u t par une formule telle que
où les a, &,..., Z sont rationnels.
Pour l'établir, il nous suffira de démontrer que, si la formule (9) est vraie
pour les fonctions v h elle l'est encore pour les fonctions w ( = ~ — [#l ^ n • Or> nous avons
dx~~ dx A ~dy { l l ~ k) ~~ A dx dy K [ l ~ k) Â* dy^-^ ' dx - A \dy^- k ' x ' Px dy\*'* "*" ( 1} Pn ~ k àyr 1 ) & Oy { r k)
Nous obtenons donc la formule
( lO) «f/= (— l)*^-4«/ +
ds?i dx
qui démontre le résultat annoncé et permettrait, au besoin, le calcul par voie de récurrence des expressions p f -, w L . La formule (9) nous donne
Mais les équations (7) obtenues plus haut permettent d'exprimer les quantités V Y, ^— ^ en fonctions linéaires de A„, et de ses dérivées jusqu'à Tordre n* — 1 . Donc
•M si"*-* A
A„^-ft A„ 1 + O y dx +• ■■+^M ^n'-l »
où les /; sont des fonctions rationnelles.
Ainsi, si l'équation (8) admet une intégrale rationnelle A^,, on en déduira que les fonctions A sont aussi rationnelles.
La condition nécessaire et suffisante pour que les équations (1) et (3) appartiennent à la même espèce est que V équation (8) ait une intégrale rationnelle.
Car des formules
on déduit
» » cty ' î « (* y î . . .
i — AoJ'i -+■ A| -jr— ■+-... -f- A n i , ft j (1 — i 9 2, . . ., n).
t\\ F. MAROTTE.
