LES ÉQUATIONS LINÉAIRES D'ORDRE QUELCONQUE

1. Résultats généraux. — La méthode de M. Picard nous a conduits à

la notion de groupe de rationalité par la considération d'une résolvante

irréductible

J v dV dp\\

de l'équation E (Chap. I, n° 2). Mais la détermination effective du groupe de rationalité par cette voie se présente sous un aspect compliqué; on ne connaît aucun moyen direct de trouver la résolvante/.

M. Vessiot a décomposé en trois parties le problème de la recherche du groupe de rationalité :

i° Détermine?* tous les groupes algébriques de transformations linéaires homogènes à n variables. — Les travaux de MM. Klein, Jordan et Lie, font connaître pour n = 2, 3, 4? tous les types de groupes discontinus et continus; il serait facile de déterminer les groupes complexes ou mixtes (voir plus loin, n° 2). De plus, MM. Jordan et Lie ont donné des théorèmes généraux sur les groupes à n variables.

Ce premier problème étant résolu, il reste à déterminer lequel de ces groupes est le groupe de rationalité de l'équation différentielle donnée. Nous savons qu'il n'y a pas lieu de distinguer deux groupes appartenant au même type. Les théorèmes II et III nous apprennent que ce groupe est le plus petit groupe algébrique dont les invariants s'expriment rationnellement. Nous sommes donc conduits à poser les problèmes suivants :

2° Former pour chaque groupe algébrique trouvé ci-dessus un système caractéristique d'invariants différentiels. — Lorsque les équations

LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET LA THÉORIE DES GROUPES. /j5

du groupe G sont connues, ce problème n'exige que des différentiations et des éliminations; on peut donc le considérer comme résolu ('). On obtient ainsi les invariants

qui sont fonctions rationnelles de y n . . ., y n et de leurs dérivées jusqu'à Tordre n.

On peut alors former par élimination les résolvantes dont dépendent les invariants u n . .., u r lorsque y n ...,./„ sont des intégrales de l'équation linéaire donnée. On trouve ainsi les équations différentielles

•«(*' tt iv^'-'-)= o . •••> *'(*'""-£> :~)=°-

Si le groupe G est le groupe de rationalité ou le contient, u K , . . ., u r seront rationnels. Nous sommes donc conduits au dernier problème.

3° Rechercher les intégrales rationnelles de ces équations. .— J'ai fait observer que ces équations résolvantes font partie d'une classe remarquable d'équations différentielles étudiées par M. Painlevé; ce sont les équations dont l'intégrale générale est une fonction rationnelle connue des constantes arbitraires.

En effet, l'intégrale générale de l'équation 4>, = o s'écrit

U,=r F, f Y t , . . ., Y nf -j-£, . . . j = F|( ^«u-Ja-j • •> ^ankfkf J/jtfu-yîti • • • )•

M. Painlevé a démontré que l'on peut, par des transformations algébriques connues, ramener ces équations aux équations linéaires et en calculer effectivement toutes les intégrales rationnelles ou algébriques à un nombre donné de branches; la détermination de toutes les intégrales algébriques exigerait l'étude de quadratures (voir Painlevé, Comptes rendus, juillet i8g4).

Ces résultats résolvent donc complètement la question suivante :

(!) La question des relations entre les invariants caractéristiques reste ouverte cependant. Il y a n-k-p tels invariants entre lesquels existent p relations algébriques ou différentielles. Peut-on toujours trouver un système de n invariants caractéristiques indépendants?

Reconnaître ni une équation linéaire donnée admet comme groupe dé» rationalité un groupe donné.

Cependant le problême de la recherche du groupe de rationalité n'est pas complètement résolu, car il y a une infinité de types de groupes algébriques contenus dans le groupe linéaire homogène général à n variables. L'n exemple nous permettra de préciser davantage ce point.

Supposons que Ton veuille savoir si l'équation

admet comme groupe de transformations le groupe

(g) Y,-H\v lf Y t =f*r Sf

où p et q sont des entiers premiers entre eux.

Les invariants différentiels caractéristiques de ce groupe sont

fi y '2 y{

et il nous est toujours possible de reconnaître si l'équation (i) admet deux intégrales y^ et y 2 dont les dérivées logarithmiques sont rationnelles et d'en calculer les valeurs :

Si maintenant les entiers p et q sont donnés, on pourra toujours recon-

naître si *~ est rationnel et savoir ainsi effectivement si le groupe de ra-

tionalité est g. Mais, si p et q sont inconnus, la détermination du groupe est ramenée au problème suivant :

Trouver deux nombres entiers p et q, tels que

soit une fonction rationnelle de x.

On voit aussi que si Ton considère le groupe G, contenant le groupe g et dont les équations sont entièrement connues,

(«) Yi=*yx, Y t =6jf f ,

où a et b sont des paramètres arbitraires, on peut alors décider effectivement si l'équation (i) admet comme groupe de rationalité G ou un de ses sous-groupes.

Ce qui précède nous conduit à indiquer la marche théorique suivante pour la recherche du groupe de rationalité.

Considérons les sous-groupes maxima contenus dans le groupe linéaire homogène général, c'est-à-dire les groupes qui ne sont compris dans aucun autre sous-groupe du groupe général.

Nous commencerons par rechercher si les invariants d'un ou plusieurs de ces sous-groupes maxima sont rationnels; c'est là une opération que nous saurons effectuer d'après ce qui a été expliqué plus haut. Cette méthode aura plusieurs avantages. Tout d'abord les groupes maxima sont en petit nombre, et nous verrons que leurs invariants ont une forme très simple qui facilite beaucoup les calculs ; de plus, si, pour l'un de ces groupes, l'essai ne conduit pas à un système d'invariants rationnels, on peut écarter, dans les essais ultérieurs, tous ses sous-groupes. En particulier, si les invariants ne sont rationnels pour aucun des sous-groupes maxima, le groupe de rationalité sera le groupe linéaire homogène général.

Supposons, au contraire, que, pour l'un des groupes au moins G, les invariants caractéristiques soient rationnels; le groupe de rationalité sera G ou l'un de ses sous-groupes. On continuera donc en faisant l'essai de tous les sous-groupes maxima de G et ainsi de suite.

Lorsqu'on sera arrivé à un groupe G, dont les invariants sont rationnels, mais dont aucun sous-groupe n'a tous ses invariants rationnels, ce groupe G, sera le groupe de rationalité. t

Tout ce que nous venons de dire s'applique aussi à la recherche du groupe de méromorphie ; nous aurons alors à calculer les intégrales méromorphes «,, . . ., u r du système d'équations résolvantes.

Si l'on veut étudior de plus près le problème de la détermination du groupe de rationalité, il est nécessaire d'approfondir la théorie des groupes linéaires homogènes à n variables et de leurs invariants différentiels caractéristiques. C'est un point que je laisserai ici de côté, me réservant d'y revenir plus tard. Je vais donc abandonner ces généralités et étudier le problème de la détermination du groupe de rationalité et des groupes de méromorphie pour les équations des deuxième, troisième et quatrième ordre.

Les résultats obtenus dans cette étude seront d'une précision que l'on ne

peut espérer atteindre dans l'étude du cas général, et enCn ils nous indiqueront dans quelles directions les recherches peuvent se poursuivre avec fruit.

2. Groupes discontinus, continus et mixtes. — Nous avons vu, au Chapitre I, n° 7, que le groupe de rationalité G peut être composé d'un nombre fini de transformations; dans ce cas, il est nécessairement, discontinu.

Il peut aussi contenir une infinité de transformations. Nous avons vu alors que ses équations dépendent de paramètres arbitraires. Nous ferons avec M. Lie la distinction suivante :

Le groupe G sera appelé continu, si toutes ses transformations forment un ensemble tel qu'on puisse passer d'une transformation quelconque de l'ensemble à une autre également quelconque, en faisant varier d'une façon continue les paramètres du groupe. Tel est, par exemple, le groupe à deux variables et à deux paramètres :

Yi = ay„ Y, = £/, + /,.

Nous dirons, au contraire, que le groupe G est mixte ou complexe s'il est formé d'un certain nombre d'ensembles continus séparés de transformations; le groupe G étant algébrique, ces ensembles sont en nombre fini. Tel est, par exemple, le groupe de toutes les transformations de coordonnées rectangulaires du plan, l'origine étant conservée ; ce groupe G contient les deux ensembles continus

( Y, = 7,cosa— 7, sina, ( Y, = /j sina -+-/, cosa;

i Y|= y, cosa — y, sina,

( Y, = — y x sina — y% cosa.

Ces ensembles sont bien séparés, puisque le déterminant de leurs transformations est -f- 1 pour le premier et — i pour le second. De plus, nous voyons immédiatement que les transformations (i) forment un groupe continu g. Au contraire, les trasnformations de l'ensemble (2) considéré isolément ne forment pas un groupe; mais elles sont le produit d'une transformation de g et de la transformation

(S) Y,=jr lf Y,^-/,.

Nous pouvons donc désigner l'ensemble des transformations (2) par le

symbole #S, et nous voyons que le groupe G est formé de la réunion des deux ensembles g et g" S.

M. Lie a démontré que le même fait se produit pour tous les groupes mixtes (Lie, Théorie der Trans/ormationsgruppen, t. I, Chap. XVIII).

Tout groupe mixte G contient un groupe continu g formé des transformations T et qui est le plus grand sous-groupe continu de G ou, comme nous dirons encore, son sous-groupe continu maximum. Les transformations de G qui n'appartiennent pas à g forment //* — i ensembles continus composés des transformations qui sont le produit des transformations de g par chacune des m — i transformations S,, S 2 , . . ., S m ,. Le groupe G est ainsi constitué par les m ensembles continus

Pour la généralité des énoncés que nous donnerons au paragraphe suivant, il est bon d'étendre ces résultats aux groupes finis discontinus; le groupe g comprend alors la seule transformation identique et les substitutions S,, S 2 , . . . , S /rt f sont les autres transformations du groupe G.

3. Les invariants du sous-groupe continu maximum du groupe de rationalité. — Il est maintenant bien facile de démontrer que les invariants du groupe g sont des fonctions algébriques des invariants du groupe G.

En effet, soit u un invariant de g\ si l'on effectue sur u les substitutions du groupe G, u prend les diverses déterminations #, w,, & 2 , ..., */,„,, u ê désignant la fonction obtenue en effectuant sur u la transformation S,.

Il en résulte que toute fonction symétrique de m, «,, w 2 , ..., w m , est un invariant du groupe G. Donc u est une fonction algébrique des invariants de G.

Si le groupe G est le groupe de rationalité d'une équation linéaire, ses invariants sont rationnels; nous en concluons que les invariants du groupe # sont algébriques.

Théorème. — Les invariants du sous-groupe continu maximum g compris dans le groupe de rationalité s'expriment par des /onctions algébriques de x.

Réciproquement, si une /onction rationnelle des intégrales et de leurs dérivées s'exprime par une /onction algébrique de x, c'est un invariant du groupe g.

5o F. MAROTTE.

Soit en effet F, (y, -£ 9 • • • j une fonction rationnelle des intégrales et de leurs dérivées qui s'exprime par une fonction algébrique/, (x). Lorsque x parcourt dans le plan tous les contours que l'on peut imaginer et revient à son point de départ/, et F, prennent les/? déterminations /,,/ 2 , ..-,//» et F,, F 2 , ..., F A . Les fonctions symétriques de F,, F 2 , . .., F^ s'expriment par des fonctions symétriques de /,,/.>, ... t f p \ elles sont donc rationnelles. Le groupe de rationalité laisse donc invariables les fonctions symétriques de F,, F 2 , ..., Y p \ il ne fait donc que permuter entre elles ces fonctions.

Le groupe g ne peut donc aussi faire autre chose que permuter F n F 2 , ..., F^,; mais un groupe continu ne peut changer F, qu'en des fonctions formant avec F, un ensemble continu. Donc F, reste inaltéré par les transformations du groupe g.

Ajoutons enfin que, si un groupe continu possède les deux propriétés énoncées plus haut, c'est le sous-groupe continu maximum du groupe de rationalité.

Les mêmes théorèmes subsistent évidemment pour les groupes de méromorphie; les invariants de leurs sous-groupes continus maxima s'expriment par des fonctions à forme algébrique dans le domaine considéré.

Nous pouvons donc nous borner dans ce qui va suivre à la considération des groupes continus.

4. Equations linéaires admettant des intégrales dont la dérivée logarithmique est algébrique. — Nous verrons tout à l'heure que le problème de la détermination du groupe de rationalité revient à rechercher les intégrales d'une équation linéaire dont la dérivée logarithmique est algébrique. On peut énoncer à ce sujet quelques théorèmes généraux qui nous seront utiles plus tard.

On sait trouver pour l'équation à coefficients rationnels {ou algébriques)

les intégrales dont la dérivée logarithmique est algébrique.

Cherchons tout d'abord quelles formes peuvent avoir ces intégrales. Soit

f. alg. de x = «i(jc).

LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET LA THÉORIE DES GROUPES. 5l

Lorsque x décrit dans le plan les divers contours distincts que Ton y peut tracer, la fonction u,(x) acquiert p valeurs distinctes u t (x) 9 u 2 (x), . . ., u p (x) qui sont les p déterminations de la fonction algébrique u(x). Il y

correspond p valeurs distinctes ^> ¥±> • • • , ^ du quotient ~

Les intégrales y 29 . . . , y p sont les transformées dcy t par la substitution du groupe de monodromie de l'équation (i) qui correspondent aux contours décrits par la variable x. Il faut remarquer que les substitutions du groupe de monodromie changent en général y t en une infinité d'autres intégrales de (i); mais toutes ces intégrales ne donnent que p valeurs distinctes pour

y' le quotient — et ne diffèrent que par des facteurs constants des intégrales

Une première observation fort importante consiste en ce que le nombre n étant donné } on peut assigner au nombre p une limite supérieure N. Consulter à ce sujet le Mémoire de M. Jordan, Sur les équations différentielles linéaires à intégrales algébriques (Journal de C relie, t. 84).

Parmi les intégralesj,,^, ... 9 y p9 il y en a q,y n y 2J ...,y q , (qip),

qui sont linéairement indépendantes; les autres y q + n ..., y p s'expriment

en fonctions linéaires des q premières. Les fonctions y n y 2} ...,JK? vérifient

une équation différentielle linéaire à coefficients rationnels. Car les coef-

ficients de l'équation linéaire que vérifient y t } y 2 , • • *>y q sont algébriques

puisque ~, —, ••-, £-1 sont algébriques, et uniformes puisque, en dé-

crivant un contour quelconque, les intégrales y lJ y i9 ..., y q se changent en des fonctions linéaires de ces mêmes intégrales. Nous pouvons former cette équation d'ordre q

Si q = n, c'est précisément l'équation (i); si q est plus petit que n, toutes

les intégrales de (2) appartiennent à (1) et l'on sait trouver les équations

qui jouissent de cette propriété (Picard, Traité d'Analyse, t. III, p. 522).

Le problème qui nous était proposé est donc simplifié dans le cas où

q<^n et il nous reste à reconnaître si l'équation (2) admet un système fondamental d'intégrales dont la dérivée logarithmique est algébrique.

Le nombre p des déterminations de la fonction algébrique — = u(x) est

inférieur à un nombre fixe Q que Ton peut calculer dès que l'on connaît q. La fonction symétrique

— -t- — -H...+ — = -7- logry, Vi . . . Y p

est une fonction rationnelle. Pour reconnaître si l'équation (2) admet de telles intégrales y n . . . , y pJ nous formerons par différentiation et élimination l'équation linéaire que vérifie la fonction

v=yiy*'-y P -

Cette équation, qui a ses coefficients rationnels, admet pour intégrale le polynôme le plus général d'ordre p formé avec les variables y x , y 2J . . . , y q ; son ordre est égal au nombre de coefficients arbitraires qui entrent dans ce polynôme.

Nous rechercherons les intégrales de cette équation dont la dérivée logarithmique est rationnelle, en employant la méthode exposée par M. Picard (Traité d'Analyse, t. III, p. 527).

Lorsqu'on a trouvé une telle intégrale, il faut reconnaître si elle est bien le produit do p intégrales ^,,y 2 , ..., J^ de l'équation (2). On recherchera à l'aide de différentiations et d'éliminations s'il en est ainsi; en cas de réussite, le calcul donnera en même temps les autres fonctions symé-

Iriques — > — > • • • > :UL -

n yx y* y P

La fonction algébrique — = u(x) sera donc entièrement connue.

Nous allons chercher à déterminer quel est alors le groupe de rationalité G de l'équation (2). L'étude que nous allons faire nous permettra de simplifier dans un grand nombre de cas les calculs que nous venons d'indiquer. Nous avons vu plus haut (n° 3) que le sous-groupe continu maximum g

de G laisse invariables les fonctions ^-j^ 1 , •• •> ^A qui s'expriment algé-

y\ y* yp

briquement en x. Les transformations que g effectue sur les variables y„ >'2î • • • » y p<> son l donc de la forme

Nous distinguerons deux cas :

i° p = q. Les intégrales y ,, y 2 , ..., y p = y q sont linéairement indépendantes et forment un système fondamental de l'équation (2). Les équations du groupe g sont de la forme

Yi = a x y x> Y,= a,/„ ..., Y q =a q y q ,

a n a 2 , . . . , a q étant des paramètres arbitraires, distincts ou non.

Le groupe de monodromie contient par hypothèse des substitutions S,, S 2 , . . . , S*, qui font passer dey t à l'une quelconque des intégrales^, ..., y r Ces substitutions appartiennent aussi au groupe de rationalité qui comprendra les ensembles de transformations

S> #S â , gS» -.., gSk-\*

Les invariants — > — > •••> ^ sont les racines d'une équation irréduc-

tible d'ordre q à coefficients rationnels

et les intégralesy,,y 2 , . . ., y q sont données par les formules

^ogy l = ju l dx f -.., \ogy q =j u q dx.

2 p > q . Nous pouvons supposer que les intégrales y^ y 2 > -• ->y q sont linéairement indépendantes; y q + t , • • *? » sont alors des fonctions linéaires de y , , . . . , y q et l'on a, par exemple,

Nous savons que le groupe g effectue sur les variables y n y 2 , . . ., y p , des transformations de la forme

Yi — a^i, ..., Y r =z a r y r , ...., Y q — a q y q , Y q + l = a q + i y q + i i •••> *p — a pyp m

Il en résulte, à cause de l'équation (a),

#i m a s — . . . rr a r = Q q +i — fl

et les équations du groupe # deviennent

Yj=flyi> ..., Y,.= ay r , Y r +i=: aiH-iJV+i» •••> ^P :=a pyp %

Il y a dans le groupe de monodromie des transformations qui changent y i en y r + { ; si nous appliquons une telle transformation à l'équation (a), il vient

Il peut arriver que, parmi les intégrales y^ y^ . . ., y^ il y ait une des intégrales y 2 , -. -<iy r ,y q +i ou une ^ e leurs combinaisons linéaires; on en

conclut alors que

a h = « r+i = ai* — • • • — a Xr= a -

Les équations du groupe g deviennent alors

et Ton effectuera alors sur l'équation (a) la transformation qui fait passer de y K ky r +z et ainsi de suite.

* En poursuivant ainsi, nous obtiendrons un faisceau d'intégralesy, ,y 2 , . . . , y t qui auront les deux propriétés suivantes : i° une substitution du groupe g multiplie les variables y n y 2 , ^^y$ par le môme facteur; 2 une substitution du groupe de monodromie ou bien échange y x% . . ., y s entre elles ou avec leurs combinaisons linéaires ou bien fait passer à un faisceau d'intégrales tout différent. On sait que, si s = q, le groupe de monodromie est appelé primitif; sinon, il est appelé imprimitif.

Dans ce dernier cas, considérons une de ces substitutions qui font passer du faisceau v,, . .., y s au faisceau y t + n • •.,,/«; il est facile de voir que Ys+m •••) y*s sont indépendantes entre elles et indépendantes aussi de Xn • • •» y s- Elles ont les mêmes propriétés que y n . . ., y s .

En continuant ainsi, on décomposera le système fondamental y n . . ,,y q

en p faisceaux (y l9 . . ., y s ), (y s+n • • •> 7**), • • -, O^j-o-mi • • ., y 9 s) et les équations du groupe g seront

Yi = «/,, ..., Y s =ay s

*p(*— iH-i = typis— D-j-iï • • •» ïp< — vp* /

Le faisceau d'intégrales y n y 2 , ..., y, vérifie une équation linéaire d'ordre s à coefficients algébriques, puisque ^j • • • » ^ sont algébriques

y\ ys

Nous pouvons en calculer facilement les coefficients. En effet, en posant

nous avons

Les substitutions du groupe de monodromie laissent donc 4 inaltéré si elles ne font qu'échanger ,y M . . ., y, entre elles ou avec leurs combinaisons linéaires; si, au contraire, elles permutent les faisceaux d'intégrales, 0, prend autant de valeurs qu'il y a de faisceaux. 0, est une fonction algébrique à p déterminations.

Mais S vérifie une équation différentielle linéaire d'ordre C^ à coefficients rationnels qu'il est facile de former à partir de l'équation (2). Nous aurons à rechercher si cette équation admet une intégrale dont la dérivée logarithmique soit une fonction algébrique à p déterminations.

La fonction 0, étant obtenue, des différentiations et des résolutions d'équations du premier degré nous donneront 2 , ..., 0,. Nous formons ainsi l'équation (3).

Le sous-groupe continu maximum de son groupe de rationalité est

Yi = «/i,

Faisons la transformation

L'équation en z obtenue sera privée de terme en , t ~ t ; le sous-groupe continu maximum du groupe de rationalité sera de la forme

Z, = aS|, Z s =az s ;

mais, comme il doit laisser invariable le déterminant

il en résulte

V intégrale générale de V équation en z doit donc être algébrique.

Ce fait que l'intégrale est algébrique simplifie considérablement sa recherche. La méthode la plus rapide est celle donnée par M. Painlevé

{Comptes rendus y 1887, 1888). La fonction u = —vérifie une équation

algébrique; les travaux de M. Jordan font connaître une limite supérieure du degré de l'équation par rapport à u\ la considération des équations déterminantes relatives aux points singuliers donne une limite supérieure du degré par rapport à x.

Tout ceci est considérablement simplifié dans le cas où s = q (ce qui arrive nécessairement si q est premier), car l'équation (3) se confond avec l'équation (2). On fait alors immédiatement la transformation (4) et l'on cherche les intégrales algébriques de l'équation en z.