EXTENSION DES MÉTHODES DE GALOIS

I. Nouvelle définition du groupe de monodromic. — Le fait fondamental qui nous a permis d'édifier les théories précédentes est celui-ci : en faisant les opérations élémentaires, addition, multiplication, division, différentiation sur des fonctions méromorphes, on obtient encore des fonctions méromorphes. En étendant une dénomination employée en

LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET LA THÉORIE DES GROUPES. 3l

Algèbre, nous exprimerons cette propriété en disant que les fonctions méromorphes dans un domaine donné forment un corps; les fonctions rationnelles forment aussi un corps.

La seule hypothèse nécessaire pour que les méthodes de Galois et les démonstrations de M. Picard s'appliquent est que les fonctions de x que Ton considère forment un corps. Les fonctions uniformes sont précisément dans ce cas ; nous pouvons donc refaire la théorie précédente en remplaçant les mots fondions méromorphes de x par fonctions uniformes de x.

Notre conclusion sera qu'à chaque domaine D est attaché un groupe algébrique G de transformations linéaires homogènes, caractérisé par ce fait, qu'il laisse invariables toutes les fonctions rationnelles des intégrales et de leurs dérivées qui s'expriment par des fonctions de x uniformes dans le domaine D, et celles-là seulement.

Une démonstration analogue à celle donnée plus haut (Chap. II, n° 2) nous montre que ce groupe G est le plus petit groupe algébrique qui contienne le groupe de monodromie du domaine D. C'est un sous-groupe du groupe de méromorphie g D .

Les fonctions y n y 2 , - . • , JK« sont donc définies dans le domaine D par un système canonique tel que

(") ^i(Vi> .-.,//o -£^> •••J = ^ÎU)> ..-> 3 r (y» •••'r«>^f' •")==#(■*),

où les $ forment un système caractéristique d'invariants du groupe G et sont des fonctions rationnelles des intégrales et de leurs dérivées, tandis que les 5°(x) sont des fonctions uniformes dans le domaine D.

Pour donner un exemple, nous allons déterminer le groupe G relatif au domaine d'un point singulier. Le groupe de monodromie est un groupe cyclique, en général infini, formé d'une substitution S et de ses puissances. On peut, en général, choisir les intégrales y n y 29 .. ., y n de façon que S ait la forme

où les £ sont des constantes numériques fixes. Le plus petit groupe algébrique contenant S et ses puissances sera, en général,

où a n a 2 , .. ., a n sont des paramètres variables. Les invariants caractéris-

tiques de ce groupe sont ^, — ,.'.., — et les équations (i) deviennent

*>'i y 2 yn

0,, 2 , . . ., ô„ sont des fonctions uniformes au voisinage du point singulier et développablcs par la formule de Laurent.

Ce qui précède n'est qu'une transition pour nous permettre de passer à une extension plus complète encore des méthodes de Galois. Cependant il était intéressant d'attirer l'attention sur les équations (î) qui définissent les intégrales par des équations très simples rationnelles en y n ..., y n avec des coefficients uniformes en x.

Mais il est bien certain que, au point de vue où nous nous plaçons maintenant, il n'est nullement nécessaire de nous borner à la considération de fonctions rationnelles des intégrales : il nous suffit de prendre des fonctions uniformes de y n y 2J . . ., y n et de leurs dérivées. Cela sera même nécessaire si nous voulons ne faire appel à aucune autre notion que celle d'uniformité.

Les modifications qu'il convient alors d'apporter aux démonstrations du Chap. I sont les suivantes :

Le premier membre de l'équation

J xr dV <1*>V\

dV sera une fonction uniforme de j?, V, y-> • • • et nous supposerons que celte

équation est irréductible, c'est-à-dire qu'il n'y a aucune autre équation de même nature dont toutes les intégrales vérifient/= o.

Ceci posé, on poursuit facilement les raisonnements faits au Chap. I, à celle différence près que l'on ne peut démontrer ici que le groupe trouvé est algébrique.

Nous démontrons donc l'existence d'un groupe T, tel que :

i° Toute fonction uniforme des intégrales qui s'exprime par une fonction uniforme de x est invariable par les substitutions du groupe;

2° Toute fonction uniforme des intégrales qui est invariable par les substitutions du groupe s'exprime par une fonction uniforme de x.

Ce groupe F n'est donc pas autre chose que le groupe de monodromie; en général, il n'est pas algébrique.

Nous pouvons donc définir les intégrales par des équations analogues aux

équations (i). Le groupe T est discontinu, en ce sens que ses substitutions ne contiennent pas de paramètre arbitraire; il possède donc un système caractéristique d'invariants <I> 4 , $ 2 , . . ., $„ fonctions de y n y 2 , . . ., y n seulement; ce sont des fonctions transcendantes dans le cas où le groupe n'est pas algébrique. Ces invariants s'expriment par des fonctions uniformes de x :

Les intégrales de notre équation différentielle s'obtiendront en résolvant ce système d'équations transcendantes.

2. Étude analytique des intégrales. — L'équation différentielle à coefficients rationnels

(3) z?+^a5=fï-*---+^-^=ot

ou bien encore le système d'équations (Chap. I, n° 6)

définissent les fonctions y n y 2 , ..., y n à partir du corps des fonctions rationnelles. Mais, tandis que ces équations conservent la même forme apparente, elles peuvent définir, suivant les valeurs des fonctions /?, des fonctions y aussi différentes que le sont, par exemple, les fonctions rationnelles, les fonctions algébriques, les fonctions exponentielles, etc. Notre système d'équations (3) et (4) est donc tout à fait insuffisant pour mettre en évidence Imposition des intégrales y ,,jKa> • • •> y m P ar rapport au corps des fonctions rationnelles. Cette position sera au contraire parfaitement déterminée et apparente si nous définissons les fonctions^ parles équations que donne le groupe de rationalité (Chap. II, n° i).

La connaissance du groupe de rationalité d'une équation différentielle linéaire donne la position de ses intégrales par rapport au corps des fonctions rationnelles. C'est la première partie de l'étude analytique des intégrales.

Que faut-il faire maintenant pour poursuivre cette étude, pour trouver de nouvelles propriétés des intégrales? Il faut évidemment chercher comment elles se relient avec un ensemble de fonctions possédant une pro- M. 5

V% f. MA10TTC.

prié \f; plu* générale que la rationalité. Nous chercherons donc à les classer, à trouver leur position par rapport au corps des fonctions méromorphes dan* un domaine.

/•/ connaissance du groupe de méromorphie d J une équation différentielle lintïairc, relatif à un domaine quelconque, donne, dans ce domaine, la postillon de ne* intégrales par rapport au corps des fonctions méromorphes. C'est l'étude des singularités, deuxième partie de Télude analytique de* intégral*?»,

Knfin, pour terminer, nous étendrons encore le corps des fonctions de comparaison en y admettant toutes les fonctions uniformes.

La connaissance du groupe de monodromie d 9 une équation différentielle linéaire donne la position de ses intégrales par rapport au corps des fondions uniformes. C'est la troisième partie de Tétude analytique de* intégrales.

3. (Comparaison des méthodes de Galois et de Ricmann. — Les méthode* du (ialois, convenablement étendues, nous conduisent donc des propriété* de rationalité, qui font l'objet des théorèmes de MM. Picard et VrHHÎot, aux propriétés de méromorphie exposées au Chapitre I, et enfin aux propriétés d'uniformité étudiées d'une manière systématique par Hic manu. Il est intéressant de suivre la marche inverse.

Lorsqu'il s'agit de définir le système de fonctions/,,^, ...,>•» f l ue nous vouons d'étudier, Itiemann se donne le groupe de monodromie Y (e'est-iï-diru la position du système de fonctions par rapport au corps des fonctions uniformes) et la forme des fonctions au voisinage des points singuliers.

Si les invariants caractéristiques du groupe T sont $ |f ...,4>„ les fonctions Xn % Y*% ••••/* "°nl données par les équations, en général transcendantes,

o\\ les c l ,ft sont des fonctions uniformes.

Si Ton veut remonter de Ih aux équations différentielles rationnelles que vérifient nos fondions, on considère le plus petit groupe algébrique contenant V\ les invuriunls différentiels de ce groupe seront des fonctions uniformes i\o ,r

llicmuun se bornait t\ rètude des fonctions dont les développements dans

le domaine des points singuliers contiennent seulement un nombre limité de termes à exposants négatifs. Il est alors évident que les fonctions §* sont méromorphes au voisinage de chaque point singulier et par suite rationnelles.

On a ainsi obtenu un système d'équations différentielles rationnelles entrey,, ...,y« etx.

Mais, dans le cas où les points singuliers sont quelconques, la théorie de Riemann ne peut donner aucun moyen pour déterminer les fonctions dans le voisinage des singularités. Il faut alors recourir à la notion du groupe de méromorphie qui permet cette détermination.

Nous devons donc donner, pour définir les fonctions, non seulement leur groupe de monodromie, mais aussi leurs groupes de méromorphie avec l'expression de leurs invariants.

Dans ces conditions, les invariants d'un groupe algébrique quelconque contenant le groupe de monodromie et les groupes de méromorphie seront rationnels et conduiront à un système d'équations différentielles rationnelles entre les fonctions et la variable.

Nous avons seulement étudié les fonctions vérifiant les équations linéaires ; il est bien clair que tout ce que nous venons de dire s'étend immédiatement à ces équations dont l'intégrale générale s'exprime en fonction d'un nombre limité d'intégrales particulières, et qui ont été étudiées par MM. Lie, Vessiot, Picard, etc.