LES ÉQUATIONS DU SECOND ORDRE

i. Classification des groupes linéaires homogènes continus à deux variables. — Les équations d'un tel groupe G sont de la forme

Yi = a x y x -h b x y t9 Y 2 = a t y x -h 6,7,

et contiennent au plus quatre paramètres.

Supposons que y K et y 2 soient les coordonnées homogènes d'un point

d'une droite. Les substitutions du groupe G effectuent sur les points de

cette droite des transformations projectives formant un groupe continu T

dont l'équation est

«1/1 -h i> l y i tfi/i-t- £\r*

Nous partagerons les groupes linéaires G en deux catégories, suivant que le groupe Y est le groupe projectif général à trois paramètres de la droite

ou un de ses sous-groupes. Nous calculerons pour chaque catégorie un invariant différentiel caractéristique.

I. Le groupe Y est le groupe projeclif général à trois paramètres de la droite. — Nous pouvons écrire son équation sous la forme

Yl - Y * a i p 1 -o t p l =i.

«iji-t-pi/* «î ri -4- (3,/,

Déterminons les divers groupes G correspondants.

Les transformations de ces groupes sont certainement de la forme

Y, = p(aiy,-+-(3,7,), Yî^pCas/i-H^j,),

les quantités p, p', p", . . . relatives aux diverses transformations, vérifiant

l'équation

Cette relation est tout d'abord vérifiée si toutes les quantités p sont égales à ± i . On obtient alors le groupe linéaire homogène spécial

Y, = cc x y x + [3,7, \ t a « ,

On peut aussi laisser varier p arbitrairement, et Ton a le groupe linéaire homogène général à quatre paramètres

Il n'y a pas d'autre groupe linéaire algébrique continu correspondant au groupe T. Car, si, pour une transformation particulière, | p | a une valeur co -=f^ i, il doit prendre nécessairement toutes les valeurs comprises entre i et co et, par suite, les puissances de | p | prennent des valeurs positives quelconques. Mais, comme les relations entre p, a,, (î n a 2 , (3 2 sont algébriques, il est impossible que ces relations donnent pour |p| toutes les valeurs positives si elles ne font acquérir à p toutes les valeurs réelles ou imaginaires.

L'invariant le plus simple du groupe linéaire homogène spécial est la fonction

Pour le groupe général, l'invariant est—» qui est aussi un invariant du M. 8

groupe spécial. Cette fonction — sera donc l'invariant le plus simple attaché

à la première catégorie de groupes linéaires.

IL Le groupe T est un sous-groupe du groupe projectif

M. Lie a montré {Théorie der Transformations gruppen, t. III, p. 17)

que T laisse invariable un point de la droite. Nous pouvons prendre ce

point pour origine de coordonnées (y % = o), car cela revient à remplacer le

groupe G par un groupe homologue.

Les équations du groupe T sont alors

et celles du groupe G

a n a 2 , b 2J n'étant indépendants que si le groupe G est à trois paramètres.

Tous ces groupes admettent l'invariant différentiel £1 que nous choisi-

rons comme invariant caractéristique de la deuxième catégorie.

Le théorème suivant résume les résultats obtenus dans ce paragraphe :

Théorème. — Les groupes continus linéaires homogènes à deux variables se partagent en deux catégories qui comprennent respectivement :

1. Le groupe linéaire homogène général et le groupe linéaire homo-

gène spécial; V = — est l'invariant le plus simple, commun à ces deux

groupes.