Détermination du groupe de rationalité de l'équation
d x Y dv
Nous supposons que p { et p 2 sont des fonctions rationnelles de x. Tout
ce que nous dirons s'applique au cas où ce sont des fonctions algébriques.
Le groupe de rationalité de l'équation (1) ou tout au moins son groupe
continu maximum appartient à Tune des deux catégories obtenues plus haut. Les équations du second ordre se partagent donc en deux catégories suivant la nature de leur groupe de rationalité.
La condition nécessaire et suffisante pour qu'une équation appartienne à une catégorie donnée est que l'invariant caractéristique de cette catégorie soit rationnel ou algébrique, quand on y remplace y n y 2 , par un système fondamental d'intégrales de l'équation (i) (Chap. V, n° 3). Examinons, séparément, les deux cas qui peuvent se présenter.
I. Pour toutes les équations (i), l'invariant — est rationnel, car
{t ' __ ytyi—rtyi
» yty*—ytyi
Les équations de la première catégorie seront donc caractérisées par cette propriété négative qu'elles n'appartiennent pas à la deuxième catégorie. Nous verrons tout à l'heure comment l'on peut reconnaître s'il en est ainsi; supposons, pour le moment, le fait acquis.
Afin de poursuivre la détermination du groupe de rationalité, nous recherchons si ce groupe est le groupe linéaire général ou bien si son sousgroupe continu maximum est le groupe linéaire spécial. Dans ce dernier cas seulement, l'invariant v de ce groupe est une fonction algébrique de x; or p est donné par l'équation
La condition nécessaire et suffisante pour que v soit algébrique est évidemment que la fonction p K n'ait, dans tout le plan, que des pôles simples avec des résidus commensurables.
Si cette condition n'est pas vérifiée, le groupe de rationalité de (i) est le groupe linéaire homogène général.
Si, au contraire, v est une fonction algébrique, le groupe de rationalité admet comme sous-groupe continu maximum le groupe linéaire homogène spécial ; la forme de la fonction p permet ensuite de déterminer complètement le groupe de rationalité.
IL Les équations de la deuxième catégorie sont celles dont le groupe de rationalité ou son sous-groupe continu maximum appartiennent à la
deuxième catégorie; pour ces équations, l'invariant U = ^-est rationnel ou algébrique.
Nous avons à reconnaître si l'équation (i) admet une intégrale dont la
6o F. MAROTTE.
dérivée logarithmique est rationnelle ou algébrique. C'est un problème que nous savons résoudre : la méthode exposée au Chapitre V, n° 4, nous conduit aux résultats suivants :
i° — n'a qu'une seule détermination. — On l'obtient en cherchant les
intégrales de l'équation (i), dont la dérivée logarithmique est rationnelle. Au cas où cette recherche aboutit, nous avons
Toutes les intégrales de l'équation
*=/ — r(x)y=zo appartiennent à l'équation (i), qui, par suite, peut s'écrire
/•, (x) étant une fonction rationnelle ( Schlesinger, Handbuch der linearen Differentialgteichungen y t. I, p. 45).
Nous calculerons d'abord par une quadrature la fonction z ; l'équation
nous donnera ensuite par deux quadratures l'intégrale générale de l'équation (i).
La détermination complète du groupe de rationalité revient à l'étude de ces quadratures.
2° — a deux déterminations . — La fonction symétrique
7i y* dx b " l ^ î est rationnelle.
Nous formons l'équation linéaire du troisième ordre qui admet pour intégrale y K y* et nous en cherchons les intégrales, dont la dérivée logarithmique est rationnelle. Lorsque cette recherche aboutit, il existe une
expression de la forme
Y -~ ay\ -h 2 b y t y t -4- cy\,
dont la dérivée logarithmique est rationnelle.
LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET LA THÉORIE DES GROUPES. 6l
Si b 2 — ac était nul, Y serait le carré d'une intégrale de l'équation (i) et cette intégrale aurait sa dérivée logarithmique rationnelle ; nous l'aurions reconnue directement.
Donc b 1 — ac^ o, et Y est le produit de deux intégrales distinctes de (i); on peut donc écrire
et Ton a
yt r%
Il est facile de calculer la fonction symétrique £i *£*• En effet
Zi-^L + Zl-Zj = r\(x),
et, en remplaçant y\ et y\ par leurs valeurs tirées de (i),
-Pi r t (x) -^ î -4-^ = ' , i (a?),
ou
Nous pouvons donc écrire l'équation algébrique donnant U = *- en
fonction de x
l°ëy* et \°%y% sont donnés par les intégrales hyperelliptiques
log y \ = jUxdx, logy t =--j\Jidx.
Le sous-groupe continu maximum du groupe de rationalité est de la forme
L'étude des intégrales hyperelliptiques achèvera la détermination du
groupe de rationalité.
y' 3° — a plus de deux déterminations. — Nous avons vu alors, au Cha-
y pitre V, n° 4, que le sous-groupe continu maximum du groupe de rationalité est
La transformation
nous fait passer à l'équation
4 5 ' — (p\ — *p\ -+- f APt)z = O,
dont toutes les intégrales doivent être algébriques. On reconnaîtra s'il en est ainsi par la méthode de M. Painlevé.
L'énoncé suivant résume les résultats obtenus dans ce paragraphe :
Théorème. — Les équations différentielles linéaires homogènes du second ordre se partagent en deux catégories caractérisées comme il suit :
