I. Aucune intégrale n'a sa dérivée logarithmique algébrique

IL La dérivée logarithmique d'une intégrale est une fonction algébrique à N déterminations; trois cas sont à distinguer :

— - ( dJT

N > 2 : L'intégrale générale est le produit de l'exponentielle e *•' par une fonction algébrique.

N = 2 : Les logarithmes de deux intégrales particulières s'expriment par des intégrales hyper elliptiques.

N = i : Le logarithme d'une intégrale au moins s'exprime par une quadrature portant sur une fonction rationnelle. L'intégration s'achève par quadratures.

La détermination complète du groupe de rationalité s'achève ou revient à l'étude de quadratures.