ÉQUATIONS DU TROISIÈME ORDRE

i. Classification des groupes linéaires homogènes continus à trois variables. — Les équations d'un tel groupe G sont de la forme

Yî= a t y x -+- b t y t -+- c,y„ Y a = a 3 7i-t- b l y % ^ c 3 y z

et contiennent au plus neuf paramètres.

Supposons que y„y 2 ,yi soient les coordonnées homogènes d'un point d'un plan. Les substitutions du groupe G effectuent, sur les points de ce plan, des transformations projectives formant un groupe continu T, dont les équations sont

«i/i-i-^irt+^y, a t y x 4- b t y t 4- c t y % ' a i y l ^ b x y t +-c % y %

Nous allons classer ces groupes d'après les figures géométriques qu'ils laissent invariables, et nous rangerons les groupes linéaires de la même façon que les groupes projectifs qui leur correspondent.

D'après un théorème de M. Lie (T'A. der Transformations g ruppen, t. III, p. 94), un groupe continu projectif du plan, qui n'est pas le groupe projectif général, laisse invariable ou un point ou une droite, ou bien c'est le groupe à trois paramètres d'une conique non décomposable.

Nous avons donc quatre catégories de groupes linéaires; nous allons déterminer, pour chacune d'elles, la forme des groupes qui y sont contenus et un invariant différentiel caractéristique.

I. Le groupe T est le groupe projectif général à huit paramètres du plan. — Ses équations peuvent s'écrire

avec

«i ji + Pi/ « -+- yi/a ~ «*. r i ■+■ $%y% -+■ yt/s «j/i -+- Pi/* 4- y,/,

«i Pi yi

Pi ys

On reconnaît, comme au Chapitre précédent, qu'il y a deux groupes linéaires correspondant à ce groupe :

Le groupe linéaire homogène spécial à huit paramètres

Y*=«/ i ri-+-P/ i rt-*-y<ri («' = f » *> 3 )>

Le groupe linéaire homogène général à neuf paramètres

Vt=<*tyi+àiyt+c i y l (i = i,2,3).

L'invariant le plus simple du groupe spécial est

(j'g F. MAKOTÏE.

Pour le groupe général. Fin variant est —> qui appartient aussi au groupe

'ai.

La fonction W = — sera donc l'invariant le plus simple attaché à la

première catégorie de groupes linéaires.

IL Z^ groupe Y laisse un*> droite invariable. — Nous pouvons supposer qu'elle est le côté y % = o du triangle de référence.

Les équations du groupe G sont alors de la forme

Yi = *i r, f

Y,= tfjT, — £i/i-i- c,^,.

Y, = * % r % — A, jr, -h c,y„

les paramétres a, 6, c n'étant indépendants que si le groupe G est à sept paramétres.

Tous ces groupes admettent Fin va riant différentiel L = — > que nous

choisirons comme invariant caractéristique de la deuxième catégorie.

III. Le groupe T laisse un point invariable. — Nous pouvons supposer que c'est le sommet y t = o 9 y 9 =o du triangle de référence.

Les équations du groupe G sont alors de la forme

Yi= a % y x -+- b 3 y t -+- c t y t ,

les paramètres a, b, c n'étant indépendants que si le groupe G est à sept paramètres.

Nous poserons

Tous les groupes de la troisième catégorie admettent l'invariant différentiel V -- -, qui en est l'invariant caractéristique.

IV. Le groupe T est le groupe projectif à trois paramètres d'une conique non décomposable, dont nous pouvons supposer l'équation ramenée a la forme

d=yl-yiyz=o.

On voit facilement que cette catégorie comprend deux groupes : Un groupe à trois paramètres formé des transformations linéaires dont le déterminant est égal à i , qui laissent inaltérée la fonction G.

Un groupe à quatre paramètres formé des transformations linéaires qui

multiplient par un facteur constant quelconque.

0' Ces deux groupes admettent donc l'invariant différentiel = ^, qui est

Tinvariant caractéristique de la quatrième catégorie.

L'énoncé suivant résume les résultats acquis dans ce paragraphe :

Tbéorème. — Les groupes continus linéaires homogènes à trois variables se partagent en quatre catégories qui comprennent respectivement :

1. Le groupe linéaire général et le groupe linéaire spécial; W = —

est l'invariant le plus simple commun à ces deux groupes.

IL Les groupes qui laissent invariable l'équation y \ = o; V invariant

caractéristique est U = £± •

III. Les groupes qui laissent invariables le système d'équations y* == °> y 2 = o; l'invariant caractéristique estV = - •

IV. Les groupes qui laissent invariable l'équation 8 = o; l'invariant caractéristique est@= -»-

Un même groupe peut d'ailleurs appartenir à plusieurs catégories.