Détermination du groupe de rationalité de l'équation

t x cPy cPy dy

Les coefficients p n p 2 , p z sont rationnels (ou algébriques).

Le groupe de rationalité, ou tout au moins son sous-groupe continu maximum, appartient à l'une des quatre catégories obtenues plus haut. Les équations du troisième ordre se partagent donc en quatre catégories suivant la nature de leur groupe de rationalité.

Pour décider à quelle catégorie appartient l'équation (i), il faut rechercher si les invariants donnés plus haut sont rationnels ou algébriques quand on remplace y n y 2J y 9 par un système fondamental d'intégrales de cette équation.

Mais les quantités w, v, w, G vérifient des équations différentielles linéaires à coefficients rationnels qu'il est aisé de former ; nous aurons à recon-

naître si ces équations ont des intégrales dont la dérivée logarithmique est rationnelle ou algébrique (Chap. V, n° 4).

Nous allons parcourir les diverses catégories et approfondir la solution du problème en étudiant ce qui est particulier à chacune d'elles.

I. Pour toutes les équations (i), l'invariant — est rationnel, car

Les équations de la première catégorie sont donc caractérisées par cette propriété négative qu'elles n'appartiennent à aucune des trois autres catégories. Nous verrons tout à l'heure comment on peut reconnaître s'il en est ainsi; supposons pour le moment le fait acquis.

Nous rechercherons, comme au n° 2 du Chapitre précédent, si le groupe de rationalité est le groupe linéaire général ou si son sous-groupe continu maximum est le groupe linéaire spécial.

II. Les équations de la deuxième catégorie sont celles dont le groupe de rationalité ou son sous-groupe continu maximum appartiennent à la deuxième

y' catégorie ; pour ces équations, l'invariant U = — est rationnel ou algé-

brique.

Nous rechercherons donc, par la méthode exposée au Chap. V, n° 4, si l'équation (i) admet des intégrales dont la dérivée logarithmique est rationnelle ou algébrique. Il peut se présenter les cas suivants :

y' i° — n'a qu'une seule détermination. Soit

Toutes les intégrales de l'équation appartiennent à l'équation (i) qui, par suite, peut s'écrire

d % z dz

q s et q 2 étant des fonctions rationnelles.

Nous rechercherons, comme il a été dit au Chap. VI, le groupe de ratio-

nalité de cette équation; lorsqu'il sera déterminé, nous en déduirons le groupe de rationalité de l'équation (i).

i° — a deux déterminations. Le sous-groupe continu maximum du

groupe de rationalité a pour équations

Y,— a x y u Y 2 - a t y t , Ys=a,ji-^ft 3 7i+c 5 7 8 ,

y K et y 2 sont deux intégrales indépendantes de l'équation à coefficients rationnels

L'équation (i) peut donc s'écrire

dt . .

La fonction / se calculera par une quadrature; l'équation à second membre (2) que nous savons intégrer lorsque t = o nous donnera ensuite, par des quadratures, l'intégrale générale de l'équation (1).

La détermination complète du groupe de rationalité revient à l'étude de ces quadratures.

y' 3° — a trois déterminations relatives à trois intégrales linéairement

indépendantes. Les équations du sous-groupe continu maximum du groupe de rationalité sont

Yi=ai7î, Y,nza t y 2 , Y, — tf 8 / 8 .

Les diverses déterminations de la fonction log^ sont données par des intégrales abéliennes attachées à la courbe

U 8 -t- r, (x) U J ■+- t\{x) U -h r % (x) — o, logy = / U dx.

4° — a plus de trois déterminations. Les équations du sous-groupe con

tinu maximum du groupe de rationalité sont

Y,~ay,, Y 2 — a/„ Y 3 --a/ 3 .

rf.r

L'intégrale générale est le produit de l'exponentielle e * J ' par une fonction algébrique.

III. Les équations de la troisième catégorie sont celles dont le groupe de rationalité ou son sous-groupe continu maximum appartiennent à la

troisième catégorie ; pour ces équations, l'invariant V = — est rationnel ou

algébrique.

Il est avantageux de remplacer l'invariant V par l'invariant

V H- p x — = — log — •

r v w dx w

La fonction r\ = — vérifie l'équation adjointe de l'équation (t) /ax d*n d 1 p l n dpt-n

Nous rechercherons si cette équation a des intégrales dont la dérivée logarithmique est rationnelle ou algébrique. La discussion est la même que celle que nous venons de faire pour les équations de la deuxième catégorie; elle nous conduit à la détermination du groupe de rationalité de l'équation (3). Le groupe de rationalité de l'équation (i) est le groupe dualis tique du groupe ainsi trouvé (Vessiot).

IV. Le groupe de rationalité des équations de la quatrième catégorie contient le groupe linéaire homogène continu à trois paramètres qui laisse invariable la fonction

o^yl — yiy*-

Pour ces équations, l'invariant — — est rationnel ou algébrique.

La fonction vérifie une équation linéaire à coefficients rationnels du sixième ordre que l'on obtient comme il suit. On pose

et l'on différentie six fois cette équation en remplaçant, lorsqu'il y a lieu, -r^ par sa valeur tirée de (i); l'élimination des six quantités

di y dJ y

nous conduit à l'équation cherchée, dont l'intégrale est la forme quadratique générale aux variables y n y 2 , y 3 .

On calculera les intégrales de cette équation dont la dérivée logarithmique est rationnelle ou algébrique.

S'il existe une telle intégrale, elle s'exprime certainement par une forme quadratique en y„ y 2 , y^ dont le discriminant est différent de zéro; sinon l'équation (1) appartiendrait à la classe II ou à la classe III et nous l'aurions

delà reconnu.

0' De plus, la fonction ^ est rationnelle; car si elle avait deux détermi-

nations -£ et ^> le sous-groupe continu maximum du groupe de rationalité laisserait invariable chacune des deux coniques :

et, par suite, leurs points d'intersection. L'équation appartiendrait donc à la classe III.

Supposons donc que l'on ait obtenu

Si la fonction G, définie par cette équation, est algébrique, le groupe de rationalité admet comme sous-groupe continu maximum le groupe à trois paramètres qui laisse G inaltéré. La nature de la fonction algébrique 6 permet d'achever la détermination du groupe de rationalité.

Si G n'est pas algébrique, le groupe de rationalité est le groupe à quatre paramètres qui laisse invariable l'équation G = o.

Quel profit peut-on tirer de l'équation (4) pour simplifier l'intégration de l'équation (i)?

Nous transformerons d'abord l'équation (i) en une équation analogue pour laquelle la relation entre les intégrales sera

Pour définir la transformation employée, nous nous servirons du mode de représentation des systèmes fondamentaux d'intégrales adopté par Halphen. Nous ferons correspondre à chaque système de valeurs y n y*, y* le point du plan dont les coordonnées homogènes sont y n y 2 ^ y V Lorsque x varie, ce point se déplace sur une courbe G, qui représente le système

fondamental y n y 2 ,y 3 .

Considérons la courbe G relative à un système fondamental vérifiant

l'équation (4). La tangente à la courbe C en un de ses points M coupe la conique 9 = o en deux points m, dont il est facile de trouver les coordonnées^,,^, y 3 . Nous avons, en effet, puisque m est sur la tangente,

J\ = *yx + t>y\* T%---*y*+$y'%*

et, puisqu'il est sur la conique 8 = 0,

«*(y\ - yxyt) + «H*y*/*~ yxïz- yiy\)+P(y'ï - y\ft) = °-

Les équations (1) et (/j) permettent de calculer facilement, par des différentiations et des résolutions d'équations du premier degré, des quantités proportionnelles aux expressions

On trouve ainsi que le rapport g est donné par l'équation à coefficients

rationnels

Les deux valeurs de ce rapport correspondent aux deux points d'intersection de la tangente en M et de la conique.

Si nous faisons maintenant sur l'équation (1) la transformation

on obtient une nouvelle équation

(6) dZ+p*d£+p*£-*-*y= o >

dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de x, a et (3 et pour laquelle il existe un système d'intégrales fondamentales vérifiant la relation

y% — .ri y* --= o.

M. Goursat (Bulletin de la Société mathématique de France, t. XI) a donné une méthode très élégante qui ramène l'intégration de l'équation (G) à celle d'une équation du second ordre.

Je me bornerai à énoncer le résultat :

Les intégrales de V équation (6) sont les carrés des intégrales d'une équation du second ordre à coefficients rationnels en x, a, (3.

Il résulte alors de l'équation (5) que :

Les intégrales de l'équation (i) s'expriment en fonction de l'intégrale générale z de cette équation du second ordre par une formule de la forme

■^ Aa,+B *as'

AdB étant des fonctions rationnelles de x, OLetfi.

L'énoncé suivant résume les résultats obtenus dans ce paragraphe.

Théorème. — Les équations différentielles linéaires homogènes du troisième ordre se partagent en quatre catégories caractérisées comme il suit :

I. Cette catégorie comprend les équations les plus générales et celles pour lesquelles w est une fonction algébrique.

IL La dérivée logarithmique d'une intégrale est une fonction algébrique.

III. La dérivée logarithmique de la fonction v ou bien encore d'une intégrale de l'équation adjointe est algébrique.

IV. La dérivée logarithmique d'une forme quadratique non décornposable des intégrales est rationnelle.

Dans tous ces cas } la détermination effective du groupe de rationalité exige au plus l'étude de quadratures.