ÉQUATIONS DU QUATRIÈME ORDRE

1. Classification des groupes linéaires homogènes continus à quatre variables. — Les équations d'un tel groupe G sont de la forme

et contiennent au plus seize paramètres.

Supposons que y%, y 2 i y*iy* soient les coordonnées homogènes d'un point de l'espace à trois dimensions. Les substitutions du groupe G effectuent sur les points de l'espace des transformations projectives formant un groupe continu T, dont les équations sont

«îji ■+- b x y t -+- c t y 3 H- d x v k • a t y x -h b t y t -î- c^+rf,^

Nous allons classer ces groupes, d'après les figures géométriques qu'ils laissent invariables et nous rangerons les groupes linéaires de la même façon que les groupes projectifs qui leur correspondent.

M. Lie a déterminé tous les groupes projectifs de l'espace ordinaire et il suffit de rassembler divers résultats qu'il a donnés (Théorie der Transformations gruppen, t. III, p. 226, 235 et 236) pour reconnaître que les hypothèses suivantes sont seules à envisager :

I. T est le groupe projectif général de l'espace à trois dimensions, sinon il laisse invariable l'une au moins des figures suivantes : IL Un plan;