IV. Un point

Ou bien encore T est l'un ou l'autre des groupes suivants :

V. Le groupe projectif à six paramètres d'une surface du second degré non dégénérée.

VI. Le groupe projectif â dix paramètres d'un complexe linéaire non dégénéré.

VII. Le groupe projectif à trois paramètres d'une cubique gauche.

Nous avons donc sept catégories de groupes linéaires ; nous allons déterminer pour chacune d'elles la forme des groupes qui y sont contenus et un invariant différentiel caractéristique.

I. Le groupe T est le groupe projectif général à quinze paramètres - de l'espace. — On reconnaît alors, comme aux Chapitres précédents, qu'il y a deux groupes linéaires correspondant à ce groupe :

Le groupe linéaire homogène spécial à quinze paramètres formé de toutes les transformations linéaires dont le déterminant est égal à 1 ;

Le groupe linéaire homogène général à seize paramètres comprenant toutes les transformations linéaires.

LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET LA THÉORIE DES GROUPES. j3

L'invariant le plus simple du groupe spécial est

Pour le groupe général, l'invariant le plus simple est -r •

A' La fonction -^ est donc l'invariant le plus simple commun aux groupes

de la première catégorie.

II. Le groupe Y laisse un plan invariable. — Nous pouvons supposer que c'est la face y K = o du tétraèdre de référence. Les équations du groupe G sont alors de la forme

La fonction U = — est l'invariant caractéristique appartenant aux groupes de la deuxième catégorie.

III. Le groupe T laisse une droite invariable. — Nous pouvons supposer que c'est l'arête y K = o, y 2 = o du tétraèdre de référence. Les équations du groupe G sont alors de la forme

La fonction

»=y\y*—yrf\

est l'invariant différentiel caractéristique des groupes de la troisième catégorie.

IV. Le groupe T laisse un point invariable. — Nous pouvons supposer que c'est le sommet y K = y. 2 = y z = o du tétraèdre de référence. Les équations du groupe G sont de la forme

Y 4 =a i y l -i-b k y s -hc i y z -^d k y^ )

La fonction W — — > où

ji y* y*

Ji y% y

est l'invariant différentiel caractéristique des groupes de la quatrième catégorie.

V. r est le groupe projectifà six paramètres d'une surface du second degré non dégénérée dont nous pouvons supposer l'équation ramenée à la forme

ô=y\yk—y*y*=o-

Cette catégorie comprend deux groupes :

Un groupe à six paramètres formé des transformations linéaires dont le déterminant est égal à i, qui laissent inaltérée la fonction G;

Un groupe à sept paramètres formé des transformations linéaires qui multiplient par un facteur constant quelconque.

Ces deux groupes admettent donc l'invariant différentiel = -?-> qui est l'invariant caractéristique de la cinquième catégorie.

VI. T est le groupe projectifà dix paramètres d'un complexe linéaire non dégénéré.

Pour ce qui suit, il nous sera avantageux de supposer que ce complexe linéaire est celui qui est attaché à la cubique gauche

ii — y^ — ii.

et qui peut être défini de la façon suivante :

Les coordonnées d'un point de la cubique s'expriment en fonction d'un paramètre par les formules

yi = t\ yt—t 1 ^ yt—t, y K ~ i.

L'équation du plan osculateur à la cubique au point t{y %9 y^y^y A )

sera donc

Y 1 -3iY,-*-3*"Y J -*»Y*=:o ou

Les points de contact des plans osculateurs à la cubique menés par un

point M(z f , z 2 , s 3 , z H ) de l'espace ont leurs coordonnées/ définies par l'équation

ou bien encore ces points sont dans le plan

Ces points, au nombre de trois, sont situés dans un plan P passant par le point M.

La cubique nous permet donc de définir une correspondance entre les points M et les plans P de l'espace qui est précisément la correspondance définie par le complexe linéaire formé par les droites joignant les deux points(y l ,y 2 ,y,,^ 4 )et(z l , z 2 ,5 3 ,^ 4 ) dont les coordonnées vérifient l'équation (a).

L'équation (a) définit le complexe linéaire attaché à la cubique. On en déduit immédiatement l'équation différentielle des courbes dont les tangentes appartiennent à ce complexe :

w=riX — y>y\ - s (r./ 3 - y*y\ ) = °-

La sixième catégorie comprend deux groupes :

Un groupe à dix paramètres formé des transformations linéaires dont le déterminant est égal à 1 , qui laissent inaltérée la fonction co;

Un groupe à onze paramètres formé des transformations linéaires qui laissent inaltérée l'équation <o = o.

La fonction Cl = — est l'invariant différentiel caractéristique de cette ca-

Ci)

tégorie.

VII. T est le groupe projeclifà trois paramètres de la cubique gauche

y\ __Jî = y±

Ce groupe laisse donc invariable le complexe linéaire dont nous venons de trouver l'équation. Les groupes linéaires correspondants admettent donc l'équation invariante o> = o et possèdent l'invariant différentiel

Ils laissent aussi invariable la développable formée par les tangentes à la

cubique gauche et dont l'équation est Ils admettent donc le nouvel invariant

Nous allons déterminer les équations des groupes G qui correspondent au groupe I\

Les coordonnées d'un point de la cubique gauche s'expriment en fonctions homogènes de deux paramètres X, et X 2 par les formules

yt—*i9 yi—A^i, y» — Ai/,, y^ — Af

Si Ton suppose que X, et X 2 sont les coordonnées homogènes d'un point d'une droite, ces formules établissent une correspondance biuniforme entre les points M de la cubique et les points m de la droite.

Les transformations projectiles de l'espace qui reproduisent la cubique correspondent aux transformations projectiles de la droite et réciproquement.

En effet, une transformation projective de l'espace qui reproduit la cubique fait correspondre à un point M< un seul point M 2 . On obtient donc sur la droite une transformation qui fait correspondre au point m K le seul point m 2 ; c'est une transformation projective.

Réciproquement, une transformation projective de la droite fait correspondre à un point m, le seul point m 2 ; elle donne donc sur la cubique une transformation qui fait correspondre au point M l le seul point M 2 . Nous obtenons ainsi une transformation qui n'est définie que pour les points de la cubique ; il est facile de la définir pour tout l'espace.

Pour cela, nous ferons correspondre au plan qui coupe la cubique aux trois points M u N n P< le plan qui la coupe aux trois points transformés M 2 , N 2 , P 2 . La correspondance ainsi définie entre les plans de l'espace est biuniforme; c'est donc une transformation projective qui laisse la cubique invariable. Le théorème que nous avions en vue est donc démontré.

Il nous est maintenant facile de trouver les équations des groupes projectifs qui laissent la cubique invariable.

Les transformations projectives de la droite s'écrivent

(j3) A i =a'k l -\-b'k t Àj^cXj-4-^Xj.

Les transformations correspondantes de l'espace qui changent le point

en le point

Y J = AÎ, Y S ^AÎA„ Y, = AtAï, Y 4 =zAJ

s'exprimeront donc par les formules suivantes : / Y 1 = a 3 ri + 3«*&/ I +3a*\ r3 +6> <r4 ,

Y,= a'c/j-h (labc -ha?d)y t -+- (6*c-f- iabd)y z -\- b*dy k , (y) (

Y 3 =ac î m ),-+- (2<zcd-+- c*b) j 2 -h (acP 4- ibcd)y % + bd*y k9

Y 4 — c'/t-i- 3^/,-+- 3cgP/3-+- ^/v

Puisque les transformations (|3) définissent le groupe projectif à trois paramètres de la droite, deux hypothèses seulement sont acceptables :

i° a, b,c, d sont indépendants. Les équations (y) définissent un groupe linéaire à quatre paramètres.

2 a, 6, c, d sont liés parla seule relation ad — bc = i . Les équations (y) définissent un groupe linéaire à trois paramètres.

Ce sont les deux seuls groupes linéaires homogènes qui appartiennent à la septième catégorie. Leurs invariants caractéristiques sont

L'énoncé suivant résume une partie des résultats acquis dans ce paragraphe :

Théorème. — Les groupes continus linéaires homogènes à quatre variables se partagent en sept catégories qui comprennent respectivement :

I. Le groupe linéaire général et le groupe linéaire spécial; -^ est

V invariant le plus simple commun à ces deux groupes;

II. Les groupes qui laissent invariante l'équation y s = o; l'invariant

caractéristique est U = ^;

III. Les groupes qui laissent invariant le système d'équations y i = o, y 2 = 0; l'invariant caractéristique est V = — ;

IV. Les groupes qui laissent invariant le système d' équations y x = o, y 2 = o,y z = oï l'invariant caractéristique est W = — ;

V. Les deux groupes qui laissent invariante V équation G = o et dont V invariant commun est® = -^;

VI. Les deux groupes qui laissent invariante l'équation (o = od dont l'invariant commun est û = — :

Ci)

VIL Les deux groupes qui laissent la cubique gauche invariable et dont les invariants communs sont Cl = — et S ~ — •