Détermination du groupe de rationalité de V équation
d k v d 1 y d 1 y dy
Les coefficients PsiP^p^Ps sont rationnels (ou algébriques).
Le groupe de rationalité ou tout au moins son sous-groupe continu maximum appartient à Tune des sept catégories énumérées plus haut. Les équations du quatrième ordre se partagent donc en sept catégories suivant la nature de leur groupe de rationalité.
Pour décider à quelle catégorie appartient l'équation (1), il faut rechercher si les invariants que nous avons donnés sont rationnels ou algébriques, quand on remplace y 4 ,y 2 , y*,y s par un système fondamental d'intégrales de cette équation.
Mais les quantités u, v, w, 0,co, a vérifient des équations différentielles linéaires à coefficients rationnels qu'il est aisé de former; nous aurons à reconnaître si ces équations ont des intégrales dont la dérivée logarithmique est rationnelle ou algébrique.
Nous allons parcourir les diverses catégories et approfondir la solution
du problème en indiquant ce qui est particulier à chacune d'elles.
A' " I. Pour toutes les équations (1), l'invariant -^ est rationnel, car
Les équations de la première catégorie sont donc caractérisées par cette propriété négative qu'elles n'appartiennent à aucune des six autres catégories. C'est donc lorsque les recherches que nous allons indiquer auront échoué que l'on saura que l'équation est de la première catégorie.
Nous rechercherons alors, comme au n° 2 du Ghap. VI, si le groupe de
rationalité est le groupe linéaire homogène général ou si son sous-groupe continu maximum est le groupe spécial.
II. Les équations de la deuxième catégorie sont caractérisées par ce fait
que l'invariant U = — est rationnel ou algébrique.
Nous calculerons donc, par la méthode exposée au Chap. V, n°4, les intégrales de l'équation (i) dont la dérivée logarithmique est rationnelle ou algébrique. La détermination du groupe de rationalité s'achèvera ensuite comme il a été indiqué pour les équations du troisième ordre (Chap. VII, n°2).
IV. Pour les équations de la quatrième catégorie, l'invariant W— —
est rationnel. ou algébrique.
On verra, comme au Chapitre précédent, que l'adjointe de Lagrange de l'équation (i) admet une intégrale dont la dérivée logarithmique est rationnelle ou algébrique. On déterminera le groupe de rationalité de cette adjointe qui rentre dans la catégorie II; le groupe de rationalité de l'équation (1) est le groupe dualistique du groupe ainsi trouvé.
III et VI. L'équation (i) appartiendra à l'une ou à l'autre de ces deux catégories suivant que l'un ou l'autre des invariants
est rationnel ou algébrique.
Mais les fonctions v et o> vérifient une même équation différentielle linéaire du sixième ordre que l'on peut former comme il suit. Posons
et différentions cette équation en remplaçant toutes les fois qu'il y a lieu y l \ ct ^a P ar l eurs valeurs déduites de l'équation (i). On obtient ainsi les expressions de v et de ses six premières dérivées en fonctions linéaires des six déterminants que l'on peut former dans la matrice
yi y t y t Ji j-. /. y\ y\
L'élimination de ces six déterminants conduit à une équation linéaire, à coefficients rationnels, du sixième ordre, dont l'intégrale générale est
t^^BtAyty'k— yky ( \
8o F, MAROTTE.
Nous rechercherons les intégrales de cette équation dont la dérivée logarithmique est rationnelle ou algébrique.
i° Une intégrale e est telle que
— —fonct. rationn. de x~ r,(x); g
e = o est l'équation différentielle des courbes dont les tangentes appartiennent à un complexe linéaire. Deux cas sont à distinguer.
a. Ce complexe se compose des droites qui coupent une droite fixe que nous pouvons supposer être la droite
Ji = o, y % = o.
L'équation du complexe est alors
Pour reconnaître si nous nous trouvons dans ce cas, il faut chercher s'il existe des intégrales^,, y 2 de l'équation (i) telle que
Des diflerentiations et des éliminations permettent de voir s'il en est ainsi et dans le cas favorable on trouve
y\y\ —f*y\ = '•*(*) Oi/* — y%y\)-
L'équation (i) appartient donc à la troisième catégorie. De plus elle est réductible et les intégrales y K , y 2 vérifient l'équation du second ordre
d* y i \ d y / x L'équation (i) peut donc s'écrire
ST.+7i(*)ai + ^ (jp)s '= '
q K et q 2 désignant deux fonctions rationnelles. On recherchera le groupe de rationalité de celte équation et l'on en conclura celui de l'équation (i).
b. Le complexe £ = o est un complexe général; on peut alors écrire son équation
LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET LA THÉORIE DES GROUPES. 8l
Si aucun autre invariant U, V, W, 0, S, n'est rationnel ou algébrique, l'équation (i) appartient à la sixième catégorie et son groupe de rationalité a dix ou onze paramètres.
On peut employer Ja relation
pour réduire l'équation (1) à une équation non linéaire du troisième ordre ; on ne peut la ramener à une équation du second ordre.
2° Une intégrale e est telle que - est une fonction algébrique à deux défi' e
terminations — et — •
Le sous-groupe continu maximum T du groupe de rationalité laisse invariables les deux complexes
et, par suite, la congruence qui est leur intersection. Les deux directrices de cette congruence sont distinctes, sans quoi nous aurions trouvé
Si ces deux directrices se coupent en un point A et sont situées dans un plan P, le groupe Y laisse invariables le point A et le plan P; l'équation (r) appartient à la fois aux catégories II et IV et nous l'avons déjà reconnu.
Le seul cas nouveau qui puisse se présenter est donc celui où les deux directrices de la congruence ne se coupent pas; nous pouvons supposer que ce sont les arêtes
Ji = o, /i=o, et y 3 =o, v 4 = o,
du tétraèdre de référence.
Le groupe T laisse invariables ces deux droites et s'écrit
Les intégrales y,, y 2 , y 3 , y h vérifient une équation linéaire du second ordre
dont les coefficients s, et s. À sont des fonctions à deux déterminations.
3° Une intégrale e est telle que - est une fonction algébrique à trois déterminations.
Il est facile de voir que le seul cas vraiment nouveau qui puisse se présenter est celui où le groupe T laisse invariables toutes les génératrices d'un même système d'un hyperboloïde.
L'équation appartient donc alors à la cinquième catégorie et il sera bon, pour simplifier les calculs, de reconnaître d'abord s'il en est ainsi.
Les cas où - aurait plus de trois déterminations rentrent dans les cas déjà
connus.
V. L'équation appartiendra à la cinquième catégorie, si l'invariant est rationnel ou algébrique.
La fonction vérifie une équation différentielle linéaire que l'on obtiendra comme il suit. Posons
et différentions en remplaçant lorsqu'il y a lieuy" par sa valeur déduite de l'équation (i). Les seconds membres des équations obtenues seront des fonctions linéaires à coefficients rationnels des dix quantités
ymy*) (i, * = o, i,2,3).
En éliminant ces quantités entre les équations donnant 0, 0', . . ., (IO) , nous obtiendrons une équation différentielle linéaire du dixième ordre dont l'intégrale est la forme quadratique la plus générale aux variables y n y 2 ,
Nous rechercherons les intégrales de cette équation, dont la dérivée logarithmique est rationnelle ou algébrique.
Nous devons d'abord écarter les cas où les intégrales que nous calculons ainsi sont des formes quadratiques réductibles à un, deux ou trois carrés; le groupe continu maximum T du groupe de rationalité laisserait alors ou un plan ou une droite ou un point invariables, et ce sont des cas que nous avons delà examinés.
Il faut aussi écarter les cas où -r- est une fonction à plusieurs détermina-
tions. S'il y en avait deux, par exemple —- et ~-y le groupe T laisserait inva-
riables les deux quadriques
et, par suite, leur tétraèdre conjugué commun qui comprend toujours au moins un sommet et une face; ce cas nous est donc connu.
Recherchons donc les intégrales de l'équation en dont la dérivée logarithmique est rationnelle. S'il en existe une, nous pourrons écrire
( 2 ) -ç=r(œ) avec = j,^ 4 — j,j 8 .
Si la fonction définie par cette équation est algébrique, le groupe V est le groupe à six paramètres qui laisse invariable. Sinon, le groupe de rationalité est le groupe à sept paramètres qui laisse invariable l'équation = o.
Quel profit peut-on tirer de l'équation (2) pour simplifier l'intégration de l'équation (1)?
Par une transformation y = ccy -f- $y, toute semblable à celle qui a été employée pour les équations du troisième ordre, nous remplacerons l'équation (1) par une autre de même forme
y dont les coefficients sont des fonctions algébriques à deux déterminations et dont un système d'intégrales fondamentales vérifie la relation
ri/4— r«7s=o.
M. Goursat (Bulletin de la Société mathématique de France, t. XI) a obtenu le résultat suivant :
Les intégrales de l'équation (3) sont les produits des intégrales de deux équations linéaires du second ordre dont les coefficients sont racines d'équations quadratiques à coefficients algébriques
Nous en concluons que :
Les intégrales de l'équation (1) s'expriment en fonction des intégrales yj etX^de ces deux équations du second ordre par des formules telles que
a, b, c, d étant des fonctions algébriques.
VII. L'équation (i) appartient à la septième catégorie, si le sous-groupe continu maximum g de son groupe de rationalité laisse invariable la cubique
l'ne première condition nécessaire est donc que l'invariant û= —soit rationnel. Supposons qu'il en soit ainsi.
11 faut ensuite que l'invariant S = — soit rationnel ou algébrique. Mais
le cas où il est algébrique doit être rejeté, car s'il avait deux déterminations
- - 1 - et -* » le groupe g laisserait invariables les deux surfaces
ff, — O, ff*=0,
et aussi les points où la cubique gauche appartenant à la surface <r, = o rencontre la surface <x 5 = o. L'équation (i) appartiendrait donc à une autre catégorie.
Pour reconnaître si 2 = — est rationnel, nous formerons l'équation différentielle linéaire a coefficients rationnels que vérifie la fonction <j. Le procédé qui nous a déjà servi à former l'équation du dixième ordre, que vérifie la fonction 0, nous conduit alors à une équation d'ordre 35. Nous aurons à rechercher si elle admet une intégrale dont la dérivée logarithmique est rationnelle.
Lorsque le calcul aboutit, nous pouvons affirmer qu'il existe une forme biquadratique des intégrales îjO'iWj/^ donl la dérivée logarithmique est rationnelle*
Le groupe T laisse invariable la surface s 4 = o. Si l'équation ne rentre pas dans une des catégories IL I1L IV ou V % cette surface z % = o est certainement la dè\eloppaMe formée par les tangentes 4 une cubique gauche, car rémunération des groupes linéaires, que nous avons faite au n° L est complète.
IVue on peut écrire
et l ou a
L'équation (i) appartient à la catégorie VII, et le groupe T est le groupe à trois ou à quatre paramètres qui laisse invariable la cubique gauche.
M. Goursat (Comptes rcndus y i885) a signalé le cas où les intégrales d'une équation (i) vérifient la relation a = o; il a montré que ces intégrales s'expriment alors en fonction de l'intégrale X d'une équation du second ordre par une formule telle que
sans indiquer cependant comment on peut reconnaître s'il en est ainsi et former l'équation en X. Nous allons voir ce que deviennent ces résultats dans le cas général.
Quel profit peut-on tirer de l'équation
pour faciliter l'intégration de l'équation (i)?
Avant de répondre à cette question, nous donnerons une nouvelle propriété du groupe de la cubique.
L'équation généralcdes surfaces du second degré qui passent par cette cubique est
«0t-H (30, -h y0.= «(JÎ — yi/s) + POI— JV*) + 7 (/i/4 — y % y % ) = o.
Les transformations du groupe permutent entre elles les surfaces de ce faisceau et cela de la façon suivante :
YJ - Y, Y,= (*c -«*)*[ « , 01- ( rO'»)+ *Hy % y t -y x y k ) + »(yl-ytyj\,
Y,Y 3 - YiY 4 = (bc- ad)*\?ac(y\-y x yi) + (ad+bc)(y t y z -y t y k ) + îM(7J-^)],
Yî-Y 1 Y 4 =(6c-arf)«[ c*(y\-y xyi )+ cd(y t y t -y t y k )+ d^yl-y^)].
Il en résulte que la quantité aO, + (30 2 + y0 3 est l'intégrale générale d'une équation différentielle linéaire du troisième ordre à coefficients rationnels. Ce sont aussi des intégrales particulières de l'équation en du dixième ordre qui nous a permis de caractériser la catégorie V; cette dernière équation est donc réductible. Nous avons donc une nouvelle méthode pour reconnaître si l'équation (i) est de la septième catégorie; mais les calculs qu'il nous faudrait effectuer sont beaucoup plus longs, car nous aurions à rechercher si une équation d'ordre CJ =i2o a une intégrale dont la dérivée logarithmique est rationnelle.
Cela posé, nous allons définir une transformation qui nous fera passer de l'équation (i) à une équation linéaire analogue qui admettra un système d'intégrales fondamentales y n y^y^y* entre lesquelles on aura les relations
En adoptant la représentation d'Halphen (voir Chap. VII, n° 2) nous pouvons dire que nous allons définir une transformation faisant passer de la courbe intégrale C(y n y 2 ,y 3 ,y A ) de l'équation (i) à la cubique gauche (S).
Pour cela, nous ferons correspondre à un point M de la courbe C un des points où le plan osculateur à la courbe G en M rencontre la cubique; ces points sont au nombre de trois, ils seront donc déterminés par une équation du troisième ordre que nous allons calculer.
Les coordonnées d'un point du plan osculateur à la courbe C en M(7,,/ a , y„ y,) sont de la forme
7/ = «7/H-(3/i-hyy; (« = i, 2, 3, 4).
Ce point sera sur la cubique gauche si
«Ti + P/i + yy\ *.r» + P.r ', + yy\ *y%±py % -+- y y\
*y% + py« -*- yy\ *y% + P/, -+- yy\ *y*> ■+■ P/ 4 + yyl
Ces équations s'écrivent encore
en désignant par ©/(j^), û«(.y") les fonctions 8/ définies plus haut où l'on a remplacé y par y' et y\
En éliminant (î entre ces trois équations, nous obtenons
W) «^(/) + y^,(/) «*0i{y) + *yWly)-*0i(y')] + y*0i(y') W) *v*(y) + vW) « î ^(7)-+-«y[^(/)~20 î (/)]-+- y ^ î (^)
équation homogène et du troisième degré entre a et y.
Les formules de substitution établies plus haut entre les montrent que cette équation n'est pas altérée lorsqu'on fait une transformation quelconque du groupe de rationalilé; ses coefficients sont donc rationnels.
En différentiant un nombre convenable de fois l'équation (1) et remplaçant, lorsqu'il y a lieu, y 1 par son expression déduite de (i), on arrive à un système d'équations du premier degré, qui permettent de calculer les coefficients de l'équation en a, y.
a, ($, y sont donc des fondions algébriques dexà trois déterminations que nous avons appris à calculer.
La transformation
change l'équation (i) en l'équation
,zk d^y ~d*y —d}y —dy — -
dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de j>, a, (î, y et pour laquelle il existe un système fondamental vérifiant
7i ri 3^
Nous pouvons donc faire le changement de variables
(7) 7i = ^\* yt = l\li> y 3 = hl\, r* = *ï-
Les transformations des fonctions X qui correspondent aux transformalions que le groupe de rationalité effectue sur les/ s'écrivent
Aj-~ c7s X 4- d\ % .
Les invariants de ce groupe
Ai A 2 - - AjAj A t A 2 -- Ag A^,
Aj A« — A 2 A | A| A « - ~~ Aj A.
sont donc des fonctions invariables par les substitutions du groupe de rationalité; elles s'expriment donc rationnellement en fonction de x, a, {S, y- Les fonctions X, et X 2 vérifient donc l'équation du second ordre
(8) X"-h7,V-Hç t X = o f
et les intégrales de l'équation (G) s'expriment en fonction des intégrales de (8) par les équations (7). Nous allons former l'équation (8).
»« T. BAKOTTE.
L"équatî>n aux cubes des intégrales de i 3/ est
> 7: — - - 47i ^- II7 ;,o 7 . .
E!ï«: doit être identique à l'équation • ht. ce qui donne
L'intégrale générale de V équation i ô » s'exprime par une forme cubique des intégrales A, ef A 2 rfe l'équation ■ S .
Il est facile d'exprimer en fonction de 1'intégTale A les intégrales de l'équation i il En effet, y s'exprime en fonction de^- par une formule de la
forme
y = A r — By — C » ' — Dr"-
En remplaçant^' par sa valeur A* et tenant compte de i ^ ». on trouve que
L'intégrale d'une équation a) appartenant à la septième catégorie s'exprime en fonction de l'intégral** d'une équation du second ordre (8 ) par une équation do la form<*
A, B. C, D étant des fonctions algébriques à trois déterminations.
Réciproquement 7 l'expression \\ où A désigne l'intégrale d'une équation du second ordre y est l'intégrale d une équation du quatrième ordre appartenant à la septième catégorie.
Nous résumerons, dans l'énoncé suivant, quelques-uns des résultats contenus dans ce paragraphe :
Théorème. - Les équations différentielles linéaires à coejjicienls rationnels du quatrième ordre se partagent en sept catégories qui comprennent respectivement :
I. Les équations les plus générales et celles pour lesquelles A est une fonction algébrique;
II, 111, IV. Les équations pour lesquelles ou y, ou r, ou iv ont des dérivées logarithmiques algébriques. Ces équations sont réductibles, et il
existe des équations linéaires du premier, ou du deuxième, ou du troisième ordre dont toutes les intégrales vérifient l'équation primitive;
V. Les équations pour lesquelles une forme quadratique à discriminant non nul des intégrales a sa dérivée logarithmique rationnelle. L'intégration se ramène à celle de deux équations du second ordre à coefficients algébriques;
VI. Les équations dont le groupe de rationalité laisse invariable un complexe linéaire général. L'intégrale se ramène à celle d'une équation non linéaire du troisième ordre;
VII. Les équations dont le groupe de rationalité laisse invariable une cubique gauche. L'intégration se ramène à celle d'une équation du second ordre.
