DÉTERMINATION DU GROUPE DE MÉROMORPHIE

1. Réduction du problème à une forme canonique. — Pour les équations différentielles linéaires à coefficients rationnels du deuxième, du troisième et du quatrième ordre, le groupe de méromorphie relatif à un point singulier, ou tout au moins son sous-groupe continu maximum, appartient à Tune des catégories que nous avons définies dans les trois Chapitres précédents.

Il y a donc, suivant la nature des groupes de méromorphie :

Deux types de points singuliers pour les équations du second ordre; quatre, pour celles du troisième ordre, et sept, pour celles du quatrième ordre.

La condition nécessaire et suffisante pour que le point a appartienne à une catégorie déterminée est que l'invariant caractéristique de la catégorie soit méromorphe ou algébrique dans le domaine du point a, quand on y remplace les quantités y par un système fondamental d'intégrales de l'équation donnée.

Il nous faut donc reconnaître si les équations résolvantes que nous avons formées aux Chapitres précédents ont des intégrales dont la dérivée logarithmique est méromorphe ou algébrique dans le domaine du point a. On M. 12

go F. MAROTTE.

peut même, en considérant les équations linéaires qui admettent pour intégrales les produits d'un nombre déterminé d'intégrales de ces équations résolvantes, donner au problème qui consiste à déterminer à quelle catégorie appartient le point a, la forme canonique suivante :

Reconnaître si une équation linéaire donnée

dont les coefficients sont rationnels {ou méromorphes), admet une intégrale dont la dérivée logarithmique est méromorphe dans le domaine d'un point singulier a.

Pour simplifier l'écriture, nous supposerons que le point singulier choisi est l'origine. Nous cherchons si l'équation (i) admet une intégrale donnée par une équation de la forme

(2) y = p>(L)+« + a + bx + ...,

P'( - ) désignant la dérivée d'un polynôme en -> Py - En intégrant l'équation (2), nous obtenons

(3) y—e Kx 'x*(K+Bx+...).

L'intégrale y est donc précisément développée sous la forme d'une série normale de M. Thomé, mais ici cette série doit être convergente et définir une intégrale normale de l'équation (1).

Une autre façon d'énoncer notre problème fondamental est donc :

Reconnaître si l'équation (1) admet, autour du point a, une intégrale normale.

2. Essai de résolution. — Ce problème me paraît être de ceux dont on ne peut espérer obtenir la solution générale. On peut néanmoins l'étudier par les procédés suivants :

i° Ramener la résolution du problème proposé à celle d'autres problèmes d'un ordre égal de difficultés.

C'est ainsi que M. Poincaré a démontré (Acla mathematica y t. VIII)

qu'une équation admet une intégrale normale (3) alors et seulement alors

qu'une deuxième équation linéaire, qu'il apprend à former, possède une

intégrale de la forme

(s-b)tG(z),

G(z) étant une fonction entière, transcendante ou non, de z.

2° Chercher les conditions que doivent remplir les coefficients de l'équation (i) pour qu'elle admette une intégrale normale, et faire ensuite V étude analytique de ces conditions en se plaçant au point de vue de la théorie des fonctions.

M. H. von Koch a traité ce problème dans le cas particulier où l'intégrale y est régulière, c'est-à-dire

Nous allons voir qu'il est bien facile de déduire des résultats qu'il a obtenus la solution du problème général.

3° Trouver des cas particuliers où le problème peut être complètement résolu.

Le cas le plus remarquable et aussi le plus simple est celui qu'a étudié M. Fuchs, où l'équation (i) admet, autour du point a, n intégrales régulières.

M. Poincaré {American Journal of Mathematics, t. VII, et Acta mathematica, t. VIII) a formé des équations linéaires possédant des intégrales normales. Comme nous le verrons, les méthodes de M. H. von Koch permettraient de former une infinité de ces cas.

Nous allons ramener le problème posé plus haut à ce problème traité par M. H. von Koch (Acta mathematica, t. XVIII, et Comptes rendus, janvier 1893) : Recherche des intégrales régulières d'une équation linéaire.

Nous pouvons, en effet, calculer algébriquement les coefficients du polynôme P( - j en fonction des coefficients de l'équation (1). La transformation