Le groupe g a est un groupe discontinu

Les équations du groupe ne contiennent alors aucun paramètre arbitraire

et le nombre IN de ses transformations est nécessairement fini, puisque les relations entre les a qui les définissent (n° 2) sont algébriques. Les équations

(9) /,=/•(*), ..., fr=f°r(x)

seront donc vérifiées pour N systèmes fondamentaux que Ton obtiendra en effectuant sur une solution quelconque y n y 2 , .. -,y n ^ es N substitutions du groupe g a (théorème III). De plus, il n'y aura pas d'autres solutions, car les fonctions f gardent la même valeur pour les seules substitutions du groupe g a . Nous pouvons donc supposer que le système d'invariants caractéristiques f K , / 2 , . . ., f r dépend seulement de y n y 2 , ... , y n , car, s'il contenait les dérivées de ces fonctions, les équations (9) seraient vérifiées par une infinité de systèmes d'intégrales y n • • - , JK« •

Pour calculer y n y 2y • . -, y n il faudra résoudre les équations (9) par rapport à y n y 2y . . ., y n . Puisque les fonctions f° sont méromorphes au point a, la résolution conduira à des expressions algébriques au voisinage du point a. Mais on peut préciser bien davantage la forme des intégrales.

Nous avons vu, plus haut, que le groupe de méromorphie contient le groupe de monodromie; je dis que, dans le cas qui nous occupe, ces deux groupes sont identiques. En effet, toute fonction rationnelle de x, y n y m • • «i Yn et de leurs dérivées, qui est invariable pour les substitutions du groupe de monodromie, est uniforme autour du pointa; elle est donc méromorphe, car il résulte de la forme des intégrales que les termes à exposants négatifs sont en nombre limité.

De même, toute fonction rationnelle de x, y t , y 2 , . .., y n et de leurs dérivées, qui est méromorphe au point a, reste invariable pour toutes les transformations du groupe de monodromie. Ce dernier groupe est donc confondu avec le groupe de méromorphie.

Or, le groupe de monodromie est composé, comme nous l'avons vu au n° 4, d'une substitution S et de ses diverses puissances, qui doivent être ici en nombre N. Le groupe de méromorphie qui lui est identique est donc le groupe cyclique formé par les substitutions

Puisque ce groupe n'est déterminé qu'à une transformation linéaire près, je puis supposer que la transformation S a la forme suivante :

Yi^tfj/t, ..., Y n — a H y n ,

où les a ( sont des quantités déterminées, telles que

Les invariants de ce groupe sont tout simplement

et les équations (9) deviennent

d'où Ton déduit

j 1= r (a? — a) N [A'-h A', (oc — a) H-...], ..., y n = (x — a)*[L'-+- L' t (.r — a) -+-...].

Le point a est un point singulier algébrique; les développements que nous venons d'obtenir peuvent se calculer par les méthodes de M. Fuchs.