I. Les équations du groupe g a sont

Yi— a y x , \\—by if ..., \ n —ly n ,

où les a, 6, . . ., / sont m paramètres arbitraires. Les invariants les plus simples de ce groupe sont

— > — > • • • > — • /1 y% yn

Ces invariants sont méromorphes autour du point a, de sorte que les équations (9) deviennent ici

[ Zi = p;(-J U«i 1 Ji l \x — a ) x — a

les expressions P' 4 , . . ., P^ étant des polynômes en — — - • En intégrant, nous obtenons

y x — e ^~ aJ {x — a)«. [A; + Bl(j-fl)+...],

On dit alors que l'équation admet, au point a, rc intégrales normales. Lorsque les polynômes P sont tous nuls, les intégrales sont dites régulières au point a; on sait reconnaître, par les méthodes de M. Fuchs, dans quels cas l'équation a toutes ses intégrales régulières au point a et l'on peut alors calculer leurs développements en série.

H. Supposons que, pour une équation du second ordre, le groupe de méromorphie relatif au point a soit

Y, = ay u Y 2 = by x 4- ay t .

Les invariants caractéristiques de ce groupe sont

7i V fi )

ils s'expriment par des fonctions méromorphes de x et les équations (9) deviennent

Zl =I pY i\ h __?L + A + B(.r-a)-H... f y x \x — a] x — a v

P désigne ici un polynôme en et o une fonction méromorphe au

point a, d'ailleurs quelconque.

En intégrant, nous obtenons

y x — e Va - a/ (j? — a)*[À' + B'(3? — *)-»-...],

y*=y\[$to%{* — *) + ? (* — *)]•

Lorsque le polynôme P est nul, nous reconnaissons la forme donnée par M. Fuchs, pour les singularités logarithmiques des équations du second ordre. Les intégrales sont alors régulières au point a et Ton peut calculer leurs développements en série.

8. Décomposition du problème d'intégration autour du point a. — Ce qui précède suffit à montrer combien l'étude des intégrales de notre équation linéaire autour du point a est intimement liée à la nature du groupe de méromorphie; nous allons montrer de quelle importance est la structure de ce groupe.

On sait le rôle que joue, dans la résolution d'une équation algébrique par la méthode de Galois, la structure du groupe de l'équation ; dans le problème d'intégration d'une équation linéaire, la structure du groupe de rationalité joue le même rôle, comme l'a montré M. Vessiot. La structure du groupe de méromorphie a exactement la même signification pour le problème d'intégration autour du point a.

Les modes de raisonnement étant les mêmes dans les deux théories, je me bornerai à énoncer les résultats obtenus, renvoyant pour les démonstrations au Traité d' Analyse de M. Picard (t. III, p. 557), où il suffira de remplacer les mots fonctions rationnelles par fonctions mêromorphes autour du point a.

Au point de vue qui nous occupe, le groupe g a peut présenter deux aspects différents : il peut se faire qu'il ne contienne aucun sous-groupe invariant; on dit alors que c'est un groupe simple; dans le cas contraire, c'est un groupe composé.

Lorsque le groupe g a est simple, le problème d'intégration autour du point a n'est pas susceptible de décomposition; il comporte l'étude de l'équation différentielle (/) dont l'ordre p est égal au nombre de paramètres du groupe. Nous dirons que c'est un problème simple d'ordre p.

Supposons maintenant que le groupe g a soit composé, et considérons une décomposition normale du groupe

but è>u9 &a9 •••? (y a — J •

obtenue de la façon suivante : g\ est un sous-groupe invariant à p { paramètres de g a , qui n'est contenu dans aucun autre sous-groujpe invariant de g a et qui est nommé, pour cela, sous-groupe invariant maximum de g a ; gl est un sous-groupe invariant maximum dcg a el ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive à un groupe simple g s j\ qui n'a d'autre sous-groupe invariant que celui formé par la transformation identique g s a =i.

Le problème d'intégration se décompose alors en s problèmes plus simples qu'il faudra résoudre successivement par la marche théorique suivante.

Les invariants caractéristiques /,,/ 2 , . . .,/ r du groupe g a s'exprinrent ' par des fonctions méromorphes autour du pointa, que l'on suppose connues. Ces invariants f sont des fonctions rationnelles des invariants /' du groupe g a et de leurs dérivées

f\— Rl(/i> • • •»/?•,• ^' •"•)> ' " •' /r=Rrf/{> •• '>fh>"fa

L'intégration de ce système d'équations différentielles permettra d'exprimer les invariants f x par des fonctions de x qui ne seront plus méromorphes; cette intégration constitue un problème simple d'ordre p — - p t .

On connaîtra donc en fonction de x les invariants caractéristiques/* du groupe g] t \ un problème simple d'ordre p* — p 2 nous permettra de calculer les expressions des invariants caractéristiques/ 3 du groupe g^ y .et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'on obtienne en fonction de x les expressions des invariants caractéristiques de g s u , qui sont précisément^,, y a , . . ., y fi .

Notre problème d'intégration a donc été décomposé en une suite de s problèmes simples d'ordre p — /?' , p K — /*% •••? p*'* — p 5 = p s ~* -

Un cas particulier fort intéressant est celui où le groupe g a à p paramètres contient un sous-groupe invariant g\ à p — i paramètres, celui-ci un sous-groupe invariant g\ k p — i paramètres, et ainsi de suite; le groupe g a est dit alors intégrable, et M. Lie a démontré que les transformations de ce groupe peuvent prendre la forme suivante (nous nous bornons aux équations du troisième ordre)

U r n) \ yi—L>y^-cy îy

\ J'i=dy l -hey t -h/y^

Les invariants de ce groupe sont faciles à calculer, ^ous trouvons d'abord

y x ~ dx

Posons ensuite

et désignons par z t et z t les valeurs de z correspondant à y\ et j',. Lorsqu'on effectue sur les j' les transformations du groupe g a , les z subissent les transformations

wj= .5 S, -h '/ Zf

La fonction

£, dx e f/x ^!

est donc un invariant du groupe g a .

En posant z 2 = z x fudx, on trouverait de même que

Ut dx 6 clx z x

est un autre invariant du groupe g a .

Ces trois invariants sont des fonctions méromorphes de x et suffisent au calcul des intégrales^,, y^y*. On a, en effet,

£i = !>'(— — W — ^— +A+B(jr-fl)+..„ Ji \x — a) x — a

^=Q'(-— )+-£—+ X^l^ix -a) + ... t z x \x — a) x — a

1 tt = IV (-r-ï) + v~« + A * + **<•*- «) + •■-.

«i \jc — a/ *r — a

où I\ (), K désignent des polynômes eu

Kn intégrant, nous obtenons les expressions suivantes pour y h ,y 2 , y :t

,y i -r.j'Je i(j -^(x--a)^(}(x^-a)dx 9

X* z : fiJ U '"'^(-e — «)PG(o: — a),/ / ^ Tl - (or — a)Y H(.r — a) dLrJ</jr.

D'une façon générale, lorsque le groupe g a est intégrable, les intégrales y s'expriment par des quadratures successives portant sur des fonctions dont la dérivée logarithmique est méromorphe.

Signalons encore la réciproque de ce théorème :

Lorsque, au voisinage du point singulier a, les intégrales s'expriment par des quadratures successives à partir des fonctions méromorphes, le groupe de méromorphie g a est intégrable.

M. Thomé s'est occupé de l'étude des points singuliers de cette nature; il a montré que les coefficients des polynômes P, Q, R et des séries F, G, H s'expriment algébriquement en fonction des coefficients de l'équation linéaire. (Voir Journal de C relie 7 t. 96.)

Nous résumerons comme il suit les résultats acquis dans ce premier Chapitre :

A tout point singulier d'une équation différentielle linéaire homogène, à coefficients rationnels, est attaché un groupe algébrique de transformations linéaires homogènes à n variables.

Ce groupe g a , que nous nommons groupe de méromorphie de V équation relatif au point a, n'est déterminé qu'à une transformation linéaire près.

Il est caractérisé par les propriétés suivantes :

i ° Toute fonction rationnelle de x, des intégrales et de leurs dérivées, qui s'exprime par une fonction de x mèromorphe au point a, reste invariable par les substitutions du groupe.

2° Toute fonction rationnelle de #, des intégrales et de leurs dérivées, qui reste invariable par les substitutions du groupe, s'exprime par une fonction de x mèromorphe au point a.

Le groupe g a contient les substitutions du groupe de monodromie relatif au point a.

Le système d'équations exprimant, en fonction de x, les invariants caractéristiques du groupe, forme un système canonique irréductible qui définit, autour du point a, les intégrales de notre équation.

La structure du groupe g a joue un rôle fondamental dans l'étude analytique des intégrales autour de a.

Nous avons ainsi classé les singularités des équations différentielles linéaires d'ordre n, et il y a autant de classes de points singuliers qu'il y a de types de sous-groupes dans le groupe linéaire homogène général à n variables.