CHAPITRE IL

GI'.OI J'hS DE MEROMORPHIE ET GROUPE DE RATIONALITÉ.

1 , (iroupe de méromorphie dans un domaine D. — Nous avons étudié jusqu'ici b*s intégrales de notre équation linéaire dans un cercle de centrer w contenant aucun autre point singulier de F équation. Les résultats que nous avons obtenus s'étendent immédiatement à un domaine quelconque D â contour simple. Afin de fixer d'une façon précise les valeurs des intégrales y n y 21 . ., y a1 nous faisons, dans le domaine D, des coupures qui rendent le* intégrales uniformes; il suffit, par exemple, d'y tracer des coupures parlant des points singuliers et aboutissant à la frontière du domaine; nous choisissons ensuite, pour y,, . . . , y nJ des intégrales déterminées.

Cela posé, tous les raisonnements faits au Chapitre précédent subsistent lorsque nous remplaçons l'expression méromorphe au point a par méromorphe dans le domaine D. Nous démontrons donc l'existence d'un groupe algébrique de transformations linéaires homogènes g b , caractérisé par les deux propriétés suivantes :

i° Toutes les fonctions rationnelles de x, de y { , y. 2J . . ., y n et de leurs dérivées, (jui s'expriment par des fonctions de x mêromorphes dans le domaine I), sont inaltérées par les substitutions du groupe.

•jt Toutes les fonctions rationnelles de x } de y % , y. 2J . . ., y n et de leurs dérivées, r/ui sont inaltérées par les substitutions du groupe, s'expriment par des fonctions de x mêromorphes dans le domaine D.

Ce groupe g u sera appelé le groupe de méromorphie de V équation, relatif au domaine 1); il contient le groupe de monodromie relatif à ce domaine.

Le groupe g t) est parfaitement déterminé dès que Ton a choisi les intégrales/,(r\ . . .,/„(.') de l'équation linéaire, que l'on désigne pary n ..., y, r Mais re choix est entièrement arbitraire et Fou aurait pu appeler >'n ••«> X h ( ^ %s combinaisons linéaires quelconques de f { (x), ..., f n ( x )- Le nouveau groupe de méromorphie serait alors le transformé du groupe g h par une substitution linéaire.

domine au n°(> du Chapitre 1, nous verrons que Fétude des intégrales de

l'équation linéaire dans le domaine D revient à l'étude du système canonique

où f n • -• yfr forment un système caractéristique d'invariants différentiels du groupe ^et/J 1 , . . . , f* r sont des fonctions de x méromorphes dans D. Tout ce que nous avons dit au Chapitre précédent sur l'étude analytique de ce système et sur la décomposition du problème d'intégration reste vrai, sauf le point particulier suivant :

Lorsque le groupe g D est discontinu, on démontre, comme au n° 7, qu'il est composé d'un nombre fini de transformations et qu'il se confond avec le groupe de monodromie; mais, ici, ce dernier groupe n'est pas cyclique en général, et l'on ne peut poursuivre le raisonnement que nous avons fait alors.

Si le domaine D s'étend jusqu'à recouvrir tout le plan, les fonctions de./* que nous considérons, méromorphes dans tout le plan, sont rationnelles et le groupe de méromorphie devient le groupe de rationalité G de l'équation linéaire. Les intégrales de cette équation sont donc définies par le système canonique irréductible

F « (•*"•■'■>'"' S* ■■■) = VU*y> •••» F r (j„ ...,y„,^, ..-)=F»(.r),

où F,, . . ., F r constituent un système caractéristique d'invariants différentiels du groupe G, et FJ, . . ., F° sont des fonctions rationnelles de x.

2. Relation entre le groupe de rationalité et les groupes de méromorphie. — Considérons un domaine D, contenu entièrement dans un domaine D. Les transformations du groupe g Di laissent invariables les fonctions rationnelles des intégrales^ et de leurs dérivées qui sont méromorphes dans le domaine D, et a fortiori dans le domaine D ; elles appartiennent donc au groupe g h . Nous pouvons donc énoncer le théorème :

Le groupe de méromorphie relatif à un domaine D, est contenu dans le groupe de méromorphie relatif à tout domaine qui comprend D,.

En particulier, les divers groupes g a , g b , . . . relatifs aux points singuliers a, b, . . . de V équation linéaire sont des sous-groupes du groupe de rationalité '.

3o F. MAROTTE.

Nous savons que ce dernier groupe contient le groupe de monodromic de l'équation. Il est facile de montrer que :

Le groupe de l'ationalité est le plus petit groupe algébrique G contenant le groupe de monodromic et les groupes g a , g^

En effet, nous avons vu plus haut qu'il contient ces deux catégories de groupe; c'est donc le groupe G ou un groupe qui contient le groupe G.

Puisque le groupe de rationalité contient le groupe G, toutes les fonctions rationnelles des intégrales et de leurs dérivées qui s'expriment rationnellement sont invariables par rapport au groupe G.

De plus, les fonctions rationnelles des intégrales et de leurs dérivées, qui sont invariables par rapport au groupe G, s'expriment par des fonctions de x uniformes dans tout le plan, puisque les transformations du groupe de monodromiene changent pas leur valeur; elles sont aussi méromorphes au voisinage de chaque point singulier, car elles restent inaltérées par les transformations du groupe de méromorphie relatif à ce point. Toutes les fonctions rationnelles des intégrales et de leurs dérivées, invariables par rapport au groupe G, sont donc rationnelles.

Le groupe G possédant les deux propriétés caractéristiques du groupe de rationalité se confond avec lui.

Dans le cas où l'équation différentielle linéaire a toutes ses intégrales régulières autour des points singuliers, M. Klein avait démontré que le groupe de rationalité est le plus petit groupe algébrique contenant le groupe de monodromic. ( Voir Klein, Lineare Difiercntialgleichungen.)