CHAPITRE IX LA DÉCOUVERTE DU CALCUL INFINITÉSIMAL

Section A : L'antiquité.

ZENON d'ÉLÉE et ARISTOTE

95. — Il est remarquable que, pour retrouver la plus ancienne trace de la pensée infinitésimale, nous devions nous adresser, dans Tétat actuel de notre information, non aux mathématiciens chez qui elle paraît avoir été présente — soit Démocrite qui a le premier énoncé le théorème de relation entre le volume du cône et celui du cylindre ', soit les Pythagoriciens qui ont découvert et manié les grandeurs irrationnelles — mais au penseur qui semble bien avoir été l'adversaire de ces mathématiciens, à Zenon d'EIée. Lorsque Zenon formule Targument de la dichotomie^ lorsqu'il fait ressortir la nécessité pour le iuobile de parcourir avant la ligne tout entière la moitié de cette ligne, puis la moitié de cette moitié, et ainsi de suite à l'infini^, il conçoit suivant l'observation de Zeuthen^ la série

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1. Cf. Un traité de géométrie inédit d'ArchiinèdCytTad. Th. Reinach, préambule, Rev. Gén. des Sciences, 30 novembre 1907, p. 614.

2. IIpw-o: [)>ÔYOç] 6 TCEpl to-j iatj y.iVEÎaÛa'. oià to Ttpôîepov Et; to y}[j,ic-j oeïv àçtxî'ffôa'. TÔ ç£pô|i£vov r, irpô; -.ô té).o;. (Arist., Phys., VI, 9, 239" 11.)

3. Histoire des mathématiques dans Vantiquité et le moyen âge, trad. Mascart, p. 54.

il applique à une longueur quelconque prise comme unité l'opération mentale qui est constitutive de cette série.

Que d'ailleurs une pareille opération soit toute naturelle, qu'elle manifeste la loi de l'activité rationnelle, c'est ce qui ne fait plus de doute depuis le xvii*^ siècle. A Bayle qui aiguise l'ironie de son bon sens au spectacle des paradoxes de la géométrie des indivisibles, tels que la découverte de figures d'une longueur infinie égales à des espaces finis, Leibniz répond : « Il n'y a rien de plus extraordinaire en cela que dans les Séries infinies, où l'on fait voir que

2 + ^ + g + ^g + 32, etc.

est égal à l'unité '. »

Aussi rien n'atteste mieux la différence de structure entre la pensée antique et la pensée moderne que l'usage fait par Zenon d'Élée de cette même série qui était destinée à devenir le modèle de la clarté intellectuelle. Entre ses mains, elle est une arme dialectique et destructive; elle met en déroute les premières spéculations des mathématiciens sur les relations dans l'espace ou dans le temps, en interdisant à l'esprit humain d'obtenir l'intelligence d'une quantité totale par la mesure de ses parties. Et en etîet pour le réalisme d'un Éléate c'est la représentation de la totalité des termes, et non la régularité de la loi de formation, qui peut assurer l'existence de la série. Il faudrait donc expliciter et saisir dans l'intuition spatiale tous les membres de la progression géométrique dont la somme équivaut à la ligne tout entière. Or les ressources de l'imagination s'épuisent à la poursuite de cette représentation ultime qui serait nécessaire pour parfaire la ligne à décomposer. Un mobile qui aurait à parcourir toutes les divisions d'une ligne n'arrivera jamais à la parcourir tout entière.

96. — De cette proposition peuvent se tirer deux conséquences contradictoires, qui ont été toutes deux attribuées à Zenon d'Élée :

1. Philos. Sc/i;-., Gerhardt (que nous désignerons dans la suite par G), t. IV. p. 370. Voir aussi Lettre à Foucher, de janvier 1692 : (G., I, 40-3). « Le P. Grégoire de S. Vincent, traitant de la somme d'une multitude infinie des grandeurs qui sont en progression géométrique décroissante, a montré fort pertinemment autant que je m'en puis souvenir, par la supposition même de la divisibilité à l'infini, combien Achille doit avancer plus que la tortue, ou en quel temps il la devrait joindre si elle avait pris les devants. >• Cf. Opm geometricuin quadraturse circuU et sectionum coni, Anvers, 1647. Lib. II, De progressionibwi geometricis, Scholie de la prop. 87, p. 101 et suiv.

ZKNON 1) KLKK KT ARISTOTI", 155

riiiio que le mouveinenL n'existe pas, Taulre (iiic; Texislence du niouvemeul réfuie riiypoUièse d'une i)luralilr dibconlinue d'éléments. Mais nous laisserons de côté, comme inutile à notre objet, le problème délicat de choisir, en l'absence de témoignages péremptoires, entre ces deux interprétations. Nous n'en retiendrons que l'élément commun, le principe en qui se résume l'argument de la dichotomie^ c'est-à-dire la séparation radicale de deux formes d'intuition qui paraissaient inséparablement unies dans la notion de l'espace : d'une part la représentation de la ligne totale, d'autre part la représentation des parties élémentaires. L'expérience spatiale apprend h passer des parties qui sont données au tout qui est à reconstituer, en juxtaposant un nombre fini de lignes finies; elle nous enseigne ainsi les lois de la mesure. Mais la réciproque de cette opération, qui semble la plus aisée et la plus naturelle du monde, se trouve n'être pas vraie dans les conditions où les anciens posaient le problème ; il est impossible, en partant de la connaissance d'une ligne donnée et à l'aide d'un procédé aussi simple que la dichotomie, de terminer la résolution en parties élémentaires.

La dissymétrie surprenante qui éclate ainsi au cœur de l'intuition spatiale marque les bornes de la logique des anciens, qui appuie toujours le raisonnement sur la nature de l'objet représenté. Aussi le prétendu sophisme de Zénori ne sera-t-il jamais réfuté. Arislote ne comblera pas le fossé creusé par la dialectique de l'éléatisme; il se contentera d'en parcourir les deux bords. D'un côté, puisqu'il n'est pas possible à l'esprit de parcourir une infinité de termes, il professera que la constitution de la science est liée ù la position d'une limite. D'un autre côté, à la science en acte de l'univers en acte il opposera la virliialilé d'un devenir qui apparaît indéterminé et illimité. De ce dernier point de vue s'expliquent les « locutions toutes modernes » que Moritz Cantor relève chez Aristole : « L'iniini n'est pas un état stable, mais la croissance elle-même, et le continu c'est la qualité des parties consécutives de posséder l'une et l'autre le même aboutissant par lequel elles se touchent' ». Moritz Cantor ajoute : « Ne croirait-on pas se trouver en lace de l'introduction d'un traité de calcul infinitésimal? » Seulement il faut bien voir que ces formules ne sont d'aucun usage pour les mathématiques, ni même pour une science positive ; elles appartiennent à un traité de physique qui porte au plus haut point le caractère d'une méla-

I. Bibliothèque du Coagrès international de Philosophie, t. III, 1901, p. 6. Cf. Canlor, \\ p. 204.

lo6 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE

physique. La divination d'Aristote, qui aurait donné le moyen de poser le problème scientifique, ne sert en fait qu'à montrer l'impossibilité de le résoudre. S'il y a lieu de faire intervenir la pensée d'Aristote dans le domaine de l'infinitésimal, c'est que l'autorité de son génie encyclopédique et classificateur consacre pour des siècles le traité de partage qui abandonne le discret et le fini aux combinaisons de la science, qui réserve aux spéculations de la métaphysique la virtualité du continu et de l'infini.