ARCHIMÈDE

97. — D'autant que la géométrie grecque demeure assujettie dans la théorie à la loi de cette équilibre, il est plus instructif de suivre dans la pratique le mouvement de Tintelligence pour tourner cet obstacle factice. Déjà ce mouvement était dessiné dans les premières tentatives pour résoudre le problème de la quadrature du cercle. Assurément Bryson d'Héraclée avait tort de croire quil suffisait de constater que la surface du cercle est intermédiaire entre le polygone inscrit et le polygone circonscrit, pour conclure que la surface du cercle est la moyenne arithmétique de ces deux surfaces '. Mais que l'on prenne pour ce qu'elles valent les considérations dont procède cette conclusion, et le passage va s'ouvrir d'une argumentation suspecte de sophistique à la mathématique proprement dite. On ne traitera plus comme équivalentes toutes les grandeurs intermédiaires entre deux figures données; on mesurera l'écart de ces figures, on le fera diminuer progressivement. Si on double sans cesse le nombre des côtés des polygones réguliers qui sont ou inscrits ou circonscrits au cercle, leur surface se rapproche sans cesse de la surface du cercle, et la différence devient plus petite que n'importe quelle quantité donnée.

Ainsi se constituera une science nouvelle, qui à l'aide d'inégalités décroissantes fournit de l'égalité une approximation aussi étroite que l'on voudra. Ainsi se constituera une logique de Vinégalité, dont les géomètres du x" siècle ont dégagé les principes avec une irréprochable netteté. Leur méthode, appelée méthode d'exhaustion, est exprimée dans le premier théorème du X*" livre des Éléments : « Étant données deux grandeurs inégales, si on retranche plus de la moitié de la plus grande, puis plus de la moitié de la quantité restante, et toujours ainsi, le reste de la

1. Voir les textes recueillis par Brandis Scholia in Aristotclem (1836), 211' 9 et suiv. et 306» 5. Cf. Canlor. l\ p. 203.

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plus ij;Tande des quantités données sera plus petit que la plus petite de ces quantités '. » La démonstration du tliéorèmc; rej)ose sur une très remarcjuahle propriété introduite à titre de définition dans le V livre des Eléments, et qui joue, comme Hilbert Ta lait voir^ un rôle fondamental dans la structure de la géométrie: ^< Deux grandeurs sont dites comporter un rapport lorsque, étant multi[)liées, elles peuvent se dépasser lune l'autre. » Aoyov e/eiv -sbç aXXrjXa pisY^'J'l XÉYSTat, i'. oûvxTat :ToXÀ7.7rÀ7.(7'.ai^oij.îvx àXX-/^Xa)v

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La subtilité logique des Grecs semble ainsi avoir triomphé des obstacles que leur rigueur logique avait suscités. Grâce à une ruse tactique le sens et la portée de Targument ont été comme retournés. Poiu' recomposer un mouvement total, il fallait posséder un élément initial, et la dichotomie montrait l'impossibilité de fixer cet élément initial. Au contraire, que l'on ait devant soi une diflerence entre deux grandeurs données, que Ton enlève à cette dilTérence sa majeure partie, puis au reste sa majeure partie, suivant un rythme visiblement imité du procédé de la dichotomie, la répétition illimitée de l'opération permettra d'approcher autant que l'on voudra d'une solution exacte du problème. La même démarche de pulvérisation intellectuelle, qui avait créé un abîme entre l'intuition du mouvement total et l'intuition des parties de l'étendue, apporte une justification logique à la série des théorèmes qui concernent les surfaces circulaires ou les corps ronds.

98. — Mais il faut comprendre de quel prix la victoire devait être achetée. L'artifice par lequel les créateurs de la méthode d'exhaustion. Antiphon et Eudoxe, avaient réussi à adapter la dialectique discursive de Zenon à l'exposition des découvertes qui étaient nées du développement direct de la science mathématique, détourne l'attention du progrès intérieur de l'esprit pour la porter sur la forme externe de l'exposition. L'inconvénient n'était pas seulement de superposer au problème résolu par l'intelligence un second problème qui ne concernait que le discours; il était encore, sinon pour les maîtres eux-mêmes, du moins pour les disciples qui s'initiaient à la recherche par l'étude de leurs œuvres, de subordonner nettement l'intelligence au discours.

De là les deux aspects sous lesquels il convient d'envisager la