Déf. IV, ibid., t. II, 1884, p

i58 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE

pensée d'Aichimède. Nul, certes, ne perle plus haut la puissance de rabstraclion intellectuelle. Archimède ramène les problèmes de quadrature ou de cubature a la détermination d'une aire ou d'un volume compris entre deux sommations de surfaces ou de volumes élémentaires. Ces sommations elles-mêmes, il les fait reposer sur des relations qui, prises en soi, sont d'ordre analytique. C'est ainsi par exemple que dans le Traité des Colloïdes et des Sphéroïdes^ il fait intervenir l'inégalité suivante, tirée des propriétés depuis longtemps connues des progressions arithmétiques,

"^hOi -i- 2/2 + 3/2 + . . . + nh(^-^^^±^h.

Une telle formule ouvre la voie à ce que Zeuthen appelle une intégration véritable ^. Si on fait tourner une parabole autour de son axe, on engendre le corps qu'Archimède nommait conoïde parabolique. Je trace des plans perpendiculaires à l'axe et équidistants, je détermine une série de volumes élémentaires auxquels je peux inscrire ou circonscrire une série de cylindres de même hauteur. Le volume du conoïde parabolique sera compris entre deux sommes de cylindres, les uns circonscrits, les autres inscrits; il est loisible de faire en sorte que la difiérence de ces deux sommes soit équivalente au plus grand cylindre circonscrit, et, la hauteur de ce cylindre étant d'ailleurs indéterminée, il peut devenir plus petit qu'une quantité donnée*.

Ce n'est là qu'un premier pas : dans le traité de la Quadrature de la Parabole, Archimède substitue à cet élément qui demeure homogène à la figure totale un élément qui a une dimension de moins que le tout; l'étude d'une surface se ramène alors à la considération des lignes que l'on peut tracer dans cette surface. Ayant ainsi franchi les bornes de l'intuition géométrique, Archimède dépasse le domaine de la géométrie elle-même. Pour résoudre un problème de quadrature, il fait appel à des considérations de statique, « dune statique tout intellectuelle » suivant l'expression curieuse qu'emploie ici Monlucla*. Il a, par exemple, à comparer un segment parabolique

1. Archimedis Opéra, Éd. Heiberg, t. I, 1880, p. 290. Voir l'étude de Heiberg sur les progressions arithmétiques chez Archimède, dans les Quœstiones Archiinedeœ, 1879, p. 51 et suiv.