P. 78. cf. Zeulhen, op. cit.. p

CAVALIKRI 16:j

ilroilcs parallèles à AC Lellos que UT, d'aulre pari les transversales du paialléloi^ramine lelles que RV; nous cherchons à déLerniiner le rapport entre les (carrés respcielil's de toutes ces droites prises ensemble. Traçons la médiane BF; pour abréf^'cr, désignons, comme le lait Zeuthen, RT par a;, TV par t/, AC par a ou 26, ST par z. Nous avons

x=^b-\-z, y =^b — z ; x--h y- sera 26- -h 2z-.

Or voici la remarque fondamentale du calcul des indivisibles : les X constituent le triangle ACE ; les y constituent le triangle CEG, lesr constituent les deux triangles BCM et EFM, les 6 le parallélogramme ABEF. Si nous désignons les carrés des x par le symbole [ACE], les carrés des y par [CEG], les carrés des z par [BGM]+ [FEM], les carrés des h par [ABEF], nous obtenons pour o-^-h y^^ 26- -4- 2r- la forme suivante :

[ACE] + : GEC] = 2[ABFE] + 2 [BCM] + 2 [FEM] qui se réduit à : 2[ACE] =:2[ABFE]-t-4[BCM] ou [ACE]=:[ABFE] + 2[BCM].

ABFE étant la moitié du parallélogramme ACGE,

[ABFE] = |[ACGE];

d'autre part, le triangle BCM étant semblable au triangle ACE de côtés doubles, le rapport de [BCM] et de [ACE] est exprimé par la puissance troisième de 2; [ACE] = 8[BCM]. De l'équation

[ACE] = y [ACGE] + 7 [ACE] va se tirer l'expression finale :

[ACE] = |[ACGE].

Cette expression, qui fournit la démonstration d'un théorème d'énoncé purement géométrique, donne la forme de Vintégrale définie :

X^dx rrr ô f' •

Mais celte forme ne se trouve naturellement pas dans la Geomelria promota. Cavalieri n'aborde pas d'une façon directe le problème de l'intégration, en ce sens qu'il ne détermine pas une

grandeur totale par rapport à ses parties élémentaires : infiniment petits ou, comme dit Cavalieri, indivisibles. Au contraire, et suivant les expressions de M. Marie, « l'évaluation d'une somme finie d'éléments infiniment petits se trouve remplacée par celle du rapport de deux sommes infinies d'éléments finis, en nombre illimité ». M. Marie ajoute : « cette préférence s'explique aisément...; les éléments finis des termes du rapport peuvent être figurés, tandis que les éléments infiniment petits de la somme ne pourraient pas l'être^ ». La remarque est importante pour nous, parce qu'elle indique à merveille ce qui faisait la valeur proprement scientifique de la géométrie nouvelle, et ce qui devait donner prise aux critiques du dogmatisme philosophique.

La méthode de comparaison permet d'éliminer dans les calculs la considération de l'infini, qui a été utilisée pour poser les termes du problème. Cavalieri s'exprime sur ce point avec une netteté parfaite : « Dum consideroomnes lineas, velomnia plana alicujus figurse, me non numerum ipsarum comparare, quem ignoramus, sed tantum magnitudinem quœ adsequatur spatio ab eisdem hneis occupato, cum illi congruat, et quoniam illud spatium terminis comprehenditur, ideo et earum magnitudo est terminis eisdem comprehensa, quapropter iUi polest fieri additio, vel subtractio, licet numerum earumdem ignoremus; quod sufficere dico, ut illa sint ad invicem comparabilia -. »

Mais comme, faute de posséder l'instrument analytique qui l'en eût pu libérer, Cavalieri s'est maintenu sur le terrain de l'intuition géométrique, inévitablement il soulevait le problème dont il voulait écarter la considération. L'imagination ne peut pas s'arrêter sur ces éléments de comparaison, sans chercher à se représenter, en même temps que ces éléments, la figure totale qu'ils composent, sans exiger de voir comment ces éléments se comportent par rapport au tout qu'ils constituent. La question classique de la composition du continu s'impose donc à Cavalieri, malgré Cavalieri lui-même. De là le spectacle singulier que présente la Préface du VIL livre. Après avoir protesté encore une l'ois que sa méthode ne l'oblige nullement à composer le continu à l'aide d'indivisibles, Cavalieri reconnaît que son langage n'est pas exempt d'obscurité; il lui appHque mêmel'épithète de diirior, que Newton rendra fameuse en la reproduisant dans ses Principes; et, pour rassurer la conscience des techni-

i. Op. cil., t. IV, p. 53.