Cf. Lectiones Geomelricai, Londres, 10° leçon p

3. Ed. Clerselier, 1667. Lettre LXXI, dn 20 février 1639 à M. de Beaune, p. 412. {AT, II, 514). Voir l'écrit de juillet 1676, intitulé Methodus tamjcnlium inversa, in Briefwechsel, éd. Gerhardt, t. I, p. 201.)

4. Voir sur ce point la Logique de Leibniz, par Louis Couturat, 1901, notamment p. 84 et suiv.

LA DKCOrVKUTi: LEIBNIZIENNE 175

Descaiios, sans prcssonlii- nullonient la rrvoliilion jj^L-m'-rale <|irelle élail nôcessairenienl dcsliiu-f à produire dans le système entier de la science mathématique. Cela est venu de ce que, sans le secours de l'analyse transcendante, cette admirable niélhode ne pouvait réellement encore conduire à des résultats essentiels, (jui ne juissent être obtenus presqu'aussi bien par la méthode géométrique des anciens*. » L'exemple de Leibniz permet de compléter, et jusqu'à un certain point, de retourner la remarque de Comte : pour que l'analyse transcendante put se constituer, il fallait commencer par se mettre à l'école de Descaries ; et c'est ce que Leibniz déclare expressément avoir fait sur le conseil de Iluygens. La connexion entre lalgèbre et la géométrie élémentaire lui servit de modèle pour V intellectualisation de la géométrie infinitésimale : « Ce que j'aime le plus dans ce calcul, écrit-il à Iluygens, c'est qu'il nous donne le même avantage sur les anciens dans la géométrie d'Archimède, que Viète et Descartes nous ont donné dans la géométrie d'Euclide ou d'Apollonius, en nous dispensant de travailler avec l'imagination -. »

De fait, dans la Nova melhodus pro maximis et minimis de 1684, Leibniz paraît bien avoir voulu imiter la simplicité et la généralité des pages où Descartes expose au troisième livre de la Géométrie la théorie générale des équations. Le trait distinctif de la méthode nouvelle est d'avoir exprimé sous forme analytique tous les éléments du problème de façon à faire corres-

Y)jc . (Ix

pondre au rapport tt— des quantités finies le rapport j- des

quantités infinitésimales, et à obtenir ainsi le passage intelligible d'une équation ordinaire à l'équation différentielle : « Edita; vero haclenus methodi talem transitum non habent, adhibent enim plerumque reclam ut dx vel aliam hujusmodi, non vero rectam dy quœ ipsis DX, DY, dxesi quarla proporlionalis, quod omnia turbat... » L'explicilation de tous ces éléments permet d'établir un calcul de différences et de sommes, dont Leibniz énonce les règles dans l'ordre même où Ton expose les règles de l'algèbre : Règles pour les quatre opérations de V arithmétique, interprétation des signes, différenciation des puissances et des racines. La conclusion est l'avènement d'une science générale : « Ex cognito hoc velut Algorithmo, ut ita dicam, calculi hujus, quem voco differentialem , omnes aliœ œqualiones differentiales inveniri

1. Cours de philosophie positive, 6'- leçon, t. I, 1830, p. 237, note.

2. LeUrc du 29 décembre 1691. .V, II, 123 et Bricfwechsel, i. I, p. 683.

possunt per calculum communem, maximœque et minimee, itemque tangentes haberi, ita ut opus non sit tolli fractas, aut irrationales, autalia vincula, quod tamen faciendum fuit secundum methodos hactenus éditas'. »

La crise ouverte dans la pensée du xvii" siècle par la géométrie des indivisibles est résolue, mais dans un sens opposé à celui qu'avait indiqué Pascal. Au lieu de faire de la crise elle-même une sorte d'état chronique, de prétendre justifier la rupture d'équilibre qu'une invention audacieuse a introduite dans la structure de la science par un appel à des facultés d'ordre mystérieux et transcendant, Leibniz compte sur l'intelligence ellemême pour compléter son œuvre, pour dégager et mettre en pleine clarté les points que les rapides et fugitives illuminations du génie ont d'abord laissés dans l'ombre, pour réunir enfin toutes les articulations du système dans le courant continu et intégral de la pensée. C'est à cette conception philosophique que Leibniz doit d'avoir posé le problème de V algorithme nouveau, puis, une fois résolues les difficultés techniques, d'avoir créé pour exprimer la solution une notation excellente, plus complète que celle de Newton, enfin d'avoir dégagé la portée de l'invention avec une netteté qui paraît irréprochable tant du moins qu'il ne s'est pas soucié d'adapter son langage au réalisme irréductible de sa métaphysique : « Au lieu de prendre les grandeurs infinitésimales pourO, comme MM. Fermât, Descartes, et même Newton et tous les autres ont fait, avant que mon Algorithme des incomparables ait paru dans les Actes de Leipzig, il faut supposer que les grandeurs sont quelque chose, qu'elles diffèrent entre elles, et qu'elles soient marquées de différentes manières dans l'analyse nouvelle; car elles seraient confondues, si elles étaient prises pour des zéros. Je les prends donc, non

1. M, V. 222. Cf. l'article de 1686 : de Geonielria recondita et analysi indivisibilium atque infmitorum, ibid., 220 et suiv. ; et celui de 1692 sur la Chaînette (Journal des Savants) : « ... V Analyse des Infinis, qui est entièrement différente de la Géométrie des indivisibles de Cavaleri et de l'Arithmétique des infinis de M. Wallis. Car celle géométrie de Cavaleri, qui est très bornée d'ailleurs, est attachée au.\ figures où elle cherche les sommes des ordonnées; et M. Wallis, pour faciliter cette recherche, nous donne par induction les sommes de certains rangs de nombres : au lieu que l'analyse nouvelle des infinis ne regarde ni les figures, ni les nombres, mais les grandeurs en général, comme fait la spécieuse ordinaire. Elle montre un algorithme nouveau »;en particulier « au lieu des puissances ou des racines, elle se sert d'une nouvelle affection des grandeurs variables, qui est la variation même, marquée par certains caractères et qui consiste dans les diirérences, ou dans les différences des différences de plusieurs degrés, auxquelles les sommes sont réciproques, comme les racines le sont aux puissances. » M, V. 259.

LES METHODES l'OUIÎ LES TANGENTES 177

pas cornmo dos rions, ni inônio pour dos infiiiimenl potils h la riguoiir, mais |>our des quanlilés incomparablcmont ou indôlinimenl petilos, et plus que d'une grandour donnée, ou assijj^nable, inCôrieures à d'autres dont elles l'ont les dilTérences, ce qui rend Terreur moindre qu'aucune erreur assignable ou donnée et par conséquent elle est nulle ^ »

Mais pour cx|)liquer comment les difficultés (ocliniques ont été surmontées effectivement, avec quelle rapidité Leibniz a passé de ses premières réflexions théoriques à la découverte triomphale de 1675, nous ne pouvons nous contenter d'opposer philosophie à philosophie; nous devons insister sur un double progrès scientiliquc, dont Leibniz s'est trouvé le bénéficiaire. L'un, auquel nous avons eu occasion de faire allusion en parlant de la mélhode des tangentes de Harrow, a été accompli par les mathématiciens français de la généralicm au milieu de laquelle Pascal avait grandi; l'autre, dû en particulier aux mathématiciens qui travaillaient en Angleterre, est l'extension de travaux arithmétiques dont Pascal avait marqué la connexion avec le calcul des indivisibles dans une page qui fut publiée en 1665^. Nous avons donc à entreprendre une double élude : l'une sur l'invention des méthodes pour les tangentes, l'autre sur les opérations relatives aux séries infinies. Et, en même temps, comme il se trouve qu'historiquement cette étude conduit aussi bien à la méthode des fluxions qu'au calcul différentiel, elle aura l'avantage de mettre en évidence le caractère collectif de la pensée dont nous voulons suivre ici les étapes. La nécessité qui s'impose de décrire deux fois la genèse du calcul infinitésimal, comme celle de la géométrie analytique, est d'un singulier appui pour l'objectivité de cette psychologie de l'intelligence dont l'étude (lu développement scientifique doit préparer la constitution.

Section C. — De Fermât à Nevrton.