EB = 2AE + E

L'annulation de E fournit le résultat cherché; le produit maximum des deux parties de la quantité B est -j- . Méthode infaillible, ajoute Fermât, et susceptible d'être étendue à la plupart des plus belles questions. Il sera facile, en particulier, d'y ramener la détermination des tangentes des lignes courbes; dans un second écrit qu'il envoie à Descartes, il prend pour exemple la tangente à la parabole qui est menée d'un point de l'axe, en la considérant comme la distance maxima entre ce point et la parabole.

Si Fermât a eu la conscience la plus nette de la simplicité el

1. Cf. Ad eamdem melhodum. Ibid. p. 140. « Id comparo primo solido Aq. in B — Ac.

lanquam essent œqualia, licet rêvera œqualia non sint, et hujusmodi comparatioaem vocavi adaequalitatem, ut loquitur Diophantus (sicenim interpretari possum graecain vocem Ttap'.TÔTr,; qua ille utitur). » — Paul Tannery, loc. cit., p. 133, n. 1, fait remarquer que Xylauder et Bachet emploient l'expression adœqualltas pour traduire Trap-.TÔTr,:, qui siiînifie égalité approximative; il traduira lui-même d'ailleurs par appropinquatio. Diophant., Arithrn., Y, 14, Leipzig t, 1, 1883, p. 151.

LKS MKTHODKS l'Ol'H LKS TANGENTES 179

<lo la généralité do sa méthode, l'avenir a justifié sa confiance plus encore (ju'il ne i)ouvait le soujx-onner lui-même. Certes, et malgré l'auforité déjuges tels qu<; Lagrange, il y a exagération et injustice à considérer Fermât comme « le premier inventeur des nouveaux calculs ' »>. Sa méthode est loin de couvrir le champ des opérations qui procèdent des algorithmes de Leibniz ou de Newton. Du moins la pensée ditVérentielle est-elle tout entière dans la conception de ce symbole auxiliaire E qui intervient pour fournir une seconde expression du rapport des grandeurs correspondant au problème, qui pourtant n'est pas, à proprement parler, une grandeur déterminée, qui finalement est supprimé comme étant un zéro. Et cette pensée différentielle se livre à nous dans sa nudité, elle ne se réfère à aucune forme de la logique traditionnelle; ïadégalité déborde le cadre rigide du principe d'identité. Au moment même où elle retrouve des résultats rappelant les divinations d'Oresme et de Kepler sur les variations insensibles des augmentations ou des diminutions aux environs du maximum, la pensée de Fermât ne cherche pas d'appui dans une intuition spatiale; notamment, elle est tout à fait indépendante de la considération du mouvement et du temps où l'on a voulu voir 1 origine des notions différentielles. Elle est née sur le terrain de l'algèbre, elle procède de l'œuvre de Viète; elle applique aux problèmes de maximum on de minimum transmis par Pappus les lois de la transformation des équations-. Elle est une pensée abstraite qui suit le développement intérieur de l'intelligence et qui justifie la loi de ce développement par la solution des difficultés posées.

107. — L'originalité de la conception de Fermât est encore accentuée par la résistance de Descartes. L'auteur des Regulse ad directionem ingenii cherche en vain Vahsolu auquel il pourra rattacher comme à sa raison le procédé inventé par Fermât, la « notion claire et distincte » par laquelle se fera l'union de l'intelligence et de l'intuition. L'universalité à laquelle Fermât prétendait, il l'interprète dans un sens purement scolastique comme si la formule de la tangente à la parabole devait être la formule de la tangente à une courbe quelconque. Et même, dans le cas où la méthode de Fermât réussit à ses yeux, il n'y veut voir qu'un expédient, une application de la règle de fausse

1. Leçons sur le calcul des fonctions (1799-1801). Œuvres, Éd. Serret, t. X, 1884, p. 294. Cf. Mario, op. cit., ÏV, 93.

2. Œuvres, t. I, p. 147. Cf. C. R. Wallner, Entwickelungsgeschichtliche Momente bei Enstehuny der Infmitesimalrechnung, Bibliotheca Mathematica, III" série, t. V, 1904, p. 121.

posilion, « fondée sur la façon de démontrer qui réduit à l'impossible, et qui est la moins estimée et la moins ingénieuse de toutes celles dont on se sert en mathématiques ' ».

Selon Descartes la véritable méthode pour la résolution du problème est a priori; elle se déduit de la conception générale qui a inspiré la géométrie, comme un cas particulier de la conjonction entre la nature de la courbe et la forme de l'expression algébrique. Si l'on procède par ordre, si l'on considère la courbe la plus simple, qui est la circonférence, on s'aperçoit que la tangente y est déterminée d'une façon uniforme comme perpendiculaire au rayon. Or, conformément à cette « métaphysique de la géométrie- », que Descartes avait malencontreusement appliquée à la règle de Fermât, mais qui demeure pour lui le secret de l'invention mathématique, cette caractéristique de la tangente à la circonférence sera universalisée. La détermination de la tangente aux courbes en général se ramène à donner « la façon de tirer des lignes droites qui tombent à angles droits sur tel ou tel de leurs points qu'on voudra choisir. Et j'ose dire, ajoute Descartes, que c'est ceci le problème le plus utile et le plus général, non seulement que je sache, mais même que j'aie désiré de savoir en géométrie^ ».

La méthode générale de la solution est contenue dans la position même des termes du problème. Une courbe quelconque étant donnée, traçons d'un point intérieur à la courbe un cercle qui la rencontre au moins en deux points. A la courbe donnée et au cercle auxiliaire correspondent analytiquement deux équations; rapportées à un même système de coordonnées, elles auront au moins deux racines communes. Faisons décroître maintenant le rayon du cercle, deux des points d'intersection vont se rapprocher jusqu'à ce qu'enfin ils coïncident en un seul; en ce point le rayon sera perpendiculaire à la courbe et à la tangente par rapporta la courbe. Ce point de coïncidence joue donc le rôle de point limite; mais il est déterminé indépendamment de toute considération infinitésimale : c'est celui pour lequel les valeurs communes à l'équation de la circonférence sont égales, et la méthode des coefficients indéterminés fournira la solution algébrique du problème.

Ainsi pas un seul instant la pensée de Descartes ne s'est aventurée hors du domaine où intelligence et intuition se prêtent un

1. Lettre à Mcrsenne, datée, approximativement de janvier 1638, AT, t. I, p. 490.