août 1687. G, II, lOo

LKS SERIES INFINIES 183

infinilrsiinal, collo mt^me où on a cru voir quelquefois le secret de la «lécouverle de Newlou cl de Leibniz. Le rapport entre ce qui sera le calcul diflérenliel et ce qui sera le calcul intégral est marqué par la recherche dune >< converse » pour la règle des tangentes'. Et ainsi, quoique les opérations équivalentes à Tinlégralion eussent été pratiquées dans ranti([uité, c'est la voie menant de la différenciation à l'intégration qui a été reconnue la première.

Il est vrai que les mathématiciens français n'ont pas réussi à parcourir cITectivemenl cette voie. 11 leur eût fallu pour cela poser sur le terrain de l'analyse abstraite les problèmes qui jusqu'ici avaient été résolus par les méthodes mécaniques ou géométriques d'intégration. Or cela dépassait les ressources des savants de la première moitié du xvii^ siècle ; ils ne soupçonnaient pas, en effet, que la connaissance des fonctions transcendantes était en réalité acquise à la science depuis la découverte des logarithmes; ils ne voyaient dans les tables de Neper ou de Briggs qu'un travail de praticien, une technique utilitaire, comparable à ce qu'était au temps de Pythagore la logistique pour les théoriciens de l'arithmétique, destinée à demeurer dans l'ombre alors même qu'elle a été utilisée pour la découverte ou la vérification.

Voilà pourquoi l'étude des séries infinies se trouva décisive pour la découverte du calcul infinitésimal. Non que la sommation d'une série infinie constitue déjà une intégration. — « J'ai observé, écrit Leibniz à Fontenelle, qu'il y a deux manières de venir aux sommes des aires ou aux rectifications des courbes par l'infini : l'une par les infiniment petits, ou quantités élémentaires, dont on cherche la somme; l'autre par une progression des termes ordinaires dont on cherche ou la somme ou la terminaison lorsqu'elle se termine enfin dans ce qui enveloppe l'infini..., et cette méthode diffère toto génère de notre calcul des différences, des sommes-. » — Mais la méthode par les séries apportait aux mathématiciens la certitude que l'infini était susceptible d'être manié sans qu'on eût à passer par le détour de l'image spatiale : « Nous pouvons certainement concevoir aujourd'hui, dit Paul Tannery, la notation de Leibniz développée et appliquée sans l'emploi des séries; mais au xvii'' siècle la chose n'était pas possible, parce que le concept général de fonction