Loc. cit. AT, II

2. Lettre du 12 juillet 1702. Lettres et opuscules inédits, publiés par Foucher de Gareil, 1834. p. 213.

faisait défaut, et qu'il ne pouvait pas s'introduire tant que les relations non algébriques ne pouvaient être figurées que géométriquement ou mécaniquement' ». C'est précisément cette lacune que Wallis commença de combler par la pratique de Vinduction — non pas de « l'induction complète « qui est une forme spécifique de la déduction mathématique - — mais de l'induction entendue au sens strict des physiciens.

L'induction de Wallis porte directement sur la réalité, elle tire de l'observation de cas particuliers une règle universelle : « Simplicissimus investigandi modus, remarque Wallis dès la ])remière proposition de ïArilhmetica Infinitorum {I600), est rem ipsam aliquousque praestare, et raliones prodeuntes observare atque invicem comparare; ut inductione tandem universalis propositio innotescat. » Or la réalité qui, excluant toute équivoque et toute indétermination, devient la matière privilégiée de cette observation méthodique, ce sont les relations numériques. Wallis traduit en termes arithmétiques les problèmes géométriques de quadrature; selon Theureuse expression de BulTon, il applique réellement l'Arithmétique aux idées de l'Infini. Prenons Texemple le plus simple. Soit une série de fractions dont le numérateur est la somme des carrés des nombres naturels écrits à partir de zéro, dont le dénominateur est le dernier des termes du numérateur multiplié par le nombre de ces termes :

Les diverses fractions équivalent respectivement à

La considération de ces résultats permet de dégager une règle qui fournit les sommes de fractions formées successivement suivant le même procédé. A mesure que le nombre des termes

augmente, l'excès de ces sommes sur rj diminue suivant une

loi régulière; d'où l'on peut conclure que si le numérateur et le dénominateur comportent une infinité de termes posés suivant la loi régulière qui vient d'être indiquée, leur rapport sera

exprimé parla fraction ^. « Facto enim experimento, dit Wallis,

\. Bulletin des Sciences mathématiques, 1886, p. 281. 2. Vide infra, § 298.

LKS SÉRIIÎS INFINIES 18"'»

palcbil ralioiics inductione ropertas ad lias [c'esl-à-dire aux valeurs linules\ conlinue [>roj)iiis accedero, ila ut diffcrentia landoni évadât, quavis assignabili iiiiiior; adoo(iue in infiniluin contiiuiala cvancscct '. »

iiO. — Ainsi se retrouve au cœur delà méthode arithmétique ce mi^me procédé de passage à la limite qui était Tessence des méthodes géométriques. Et puisque techniquement il s'agissait seulement de résoudre des problèmes posés en termes géométriques, on s'explique que Fermât, si enclin pourtant h pratiquer rinduction comme moyen de découverte, n'ait vu dans V Arithmétique des Infinis qu'une inutile complication. Il écrit à propos de Wallis : « Sa fac^on de démontrer, qui est fondée sur induction plutôt que sur un raisonnement à la mode d'Archimède, lera quelque peine aux novices, qui veulent des syllogismes démonstratifs depuis le commencement jusqu'à la fin. Ce n'est pas que je ne l'approuve; mais, toutes ses propositions pouvant être démontrées via ordinaria^ légitima^ et Archimedea en beaucoup moins de paroles que n'en contient son livre, je ne sais pas pourquoi il a préféré cette manière par notes algébriques à l'ancienne, qui est et plus convaincante cl plus élégante-. » Pour le moment, Fermât a raison : Wallis n'a fait que déplacer le terrain sur lequel portaient les considérations infinitésimales d'Archimède ou de Cavalieri. Mais à ce déplacement de terrain correspond pour la théorie un progrès, de la nature de celui que Fermât lui-même avait accompli lorsqu'il avait appuyé sur un algorithme d'ordre analytique la résolution du problème des tangentes. Grâce à ce progrès, il sera possible de rattacher au processus abstrait de l'intelligence, les problèmes de quadrature qui avaient été jusque-là traités avec l'aide, mais aussi à travers le voile, de l'intuition géométrique.

Cette conclusion apparaîtra plus clairement dans un passage célèbre de la Logarithmo-technia de Nicolas Mercator (Londres, 1668). Cherchant la quadrature de l'hyperbole, c'est-à-dire la surface du segment compris entre l'hyperbole équilatère et ses asymptotes, Mercator est amené par le choix qu'il fait des

coordonnées à exprimer l'ordonnée par la fraction . ^ . Or il