Prop. XV, p

2. Par exemple, dit Leibniz clans le De vera proporlione circuli ad quadratum circumscriptum in numerix nilionalibii.t (1682), si le diamètre est pris pour

unité, l'aire du cercle est j-— 5 + ;:— ■= + - — 77 + ^5— ... : « Tota ergo

X 0 0 i o 11 lO

séries continet omnes appropinquationes simul sive valores justo majores et justo minores : prout enini longe continuata intelligitur, erit error minor fraclione data, ac proinde et minor dataquavis quantitate. Quare tota séries exactum expriiuit valorem. Et licet une numéro summa ejus sei'iei exprimi non possit, et séries in infinitum producatur, quoniara tamen una lege progressionis constat, tota satis mente percipitur. » M, V, 120.

LKS SKRIES INFINIES 187

do son élève Newton qui avait obtenu suivant une méthode semblable des résultats plus généraux, et l'envoi qu'il (il aussitôt à (loUins (In traité De Anali/si per œquationcs numéro terminoruin infini tas (31 juillet 1(369) '.

Comme la quadrature de l'hyperbole de Mercator, les premiers travaux de Newton dérivent de VArilhmétique des Infinis. La «çenèse de ces travaux a été retracée par Newton lui-même dans une lettre écrite à Oldenburg' pour Leibniz., du 24 octobre lt)7G. Il commença par reprendre les méthodes d'intercalalion exposées j)ar W'allis ; il considérait le développement en série des expressions telles que

et en cherchant les relations qui unissent les termes de même rang, il obtenait une loi générale de formation pour les coefiicients successifs du développement de binômes semblables. Par exemple,

(l x^)^=l-|x'--gx*--^x«, etc.,

{l — x-f = i — ^^x- -h ^x' -h jqX\ etc.,

(1 — x-f = 1 — ^x- — -x'' — yïa?^ etc.

Ces résultats suggèrent naturellement l'idée d'une vérification à l'aide de l'Arithmétique vulgaire. Multiplions par elle-même

la série équivalente à (1 — x^)^; il ne subsiste plus que les deux termes 1 et — x-; tous les autres termes sont éliminés par

l'application des règles ordinaires du calcul. 11 en sera de même

pour la série (i — x-f élevée à la troisième puissance. Dès lors, puisque l'élévation aux puissances réussit, l'extraction des racines réussira également; ce qui était moyen de contrôle ouvre la voie à l'opération directe qui dispense de l'analogie et de l'induction. Newton retrouve la division de Mercator; mais il ne se contente plus de l'appliquer au succès d'une quadrature, il en fait une méthode générale appuyée sur la connexion des différents procédés qui ont été employés dans le calcul abstrait; il la présente comme la base originale, fundamenta magis

1. Voir llosenhergar, fsaac Newton and seine nhysikalischcn Principien, Leipzig, ISy.ï. p. 433.

genuina, d'une analyse nouvelle où les opérations sur les séries 1 infinies acquièrent la même facilité pratique et la même clarté] intrinsèque que les opérations sur un nombre fini de termes. ;