Cf. Cantor, III2, p

Ce que JNeAvton ajoutait à Wallis apparaît clairement, c'est la considération de Vêlement cV accroissement ^ du moment o, pris comme unité analytique; c'est par suite la voie de retour qui permettra de constituer la méthode d'intégration comme inverse d'une méthode de différenciation; c'est enfin l'idée qui est implicite encore dans VAnalysis per sequationes infînitas, mais qui sera développée dans la Methodiis fluxionwn constituée vers les années 1670-1671 et que Newlon retiendra comme une des marques distinctives de son invention : « l'idée de la génération des quantités * ».

113. — A en juger par les Lectiones geometricse publiées en 1670, ces conceptions se rencontraient dans l'enseignement de Barrow. Nous n'avons pas besoin, après ce que nous avons dit des méthodes pour les tangentes de Fermât et de Roberval, après surtout ce que nous avons eu l'occasion de dire du triangle caractéristique, de revenir à nouveau sur cette méthode des tangentes qui, en partant de considérations à la fois mécaniques et géométriques, en explicitant tous les éléments du problème, marquait nettement la connexité du problème des tangentes et du problème inverse. Nous nous bornerons à signaler la première Leçon où Barrow expose une théorie du temps comme grandeur mathématique caractérisée par l'uniformité de son cours. De la possibilité de considérer l'instant comme une particule indéfiniment petite, Barrow conclut à la possibilité de reconstituer le temps, soit par la simple sommation des moments successifs, soit par le flux pour ainsi dire continuel d'un seul moment : velut ex simplici supervenientium momentorum additamento vel ex unius momenti quasi continua fluxu".

Or, ces idées exprimées déjà dans un langage qui demeurera le sien, Newton les coordonne aux travaux de Wallis; il confère aux éléments différentiels que Barrow avait représentés à l'aide de déterminations mécaniques ou géométriques, une expression analytique qui en fait un objet indépendant pour l'intelligence;

1. Addition de la seconde édition des Principes, 1713, au fameux Scholie concernant Leibniz.

2. (p. 6). Newton lui-même avait indirectement soulevé la question de l'influence décisive de Barrow lorsque dans sa lettre du 26 février 1716 à l'abbé Couti il accusait « la méthode différentielle pour les tangentes ■> de n'être qu'un déguisement de « celle qui avait été publiée par M. Barrow en 1670 » Cf. Leibniz, Briefwechsel, etc. Éd. Gerhardt. 1, 273. A quoi Leibniz répondait

« Si quelqu'un a profité de M. Barrow, ce sera plutôt M. Newton qui a étudié sous lui. >. (9 avril 1716). ihid., p. 281. — Voir sur la portée générale des travaux de Barrow les ouvrages cités d'Hermann Cohen (§ 46, p. 42 et suiv.), et de Zeuthen (111, 6 et 7; p. 351 et suiv).

l'analyse newtonienne 191

la dilTérencialiondovicnl alors uno opération élémentaire comme elle l'était pour Format. Seulement, en raison des progrès accomplis par la pensée mathématique au cours des trente dernières années, cette opération élémentaire, au lieu d'être appliquée uniquement à la résolution de questions particulières, devient la base du processus intellectuel qui est engagé dans les questions de quadrature, ou de rectification de courbes, et qui est le processus de l'intégration. Le calcul infinitésimal est constitué, c'est-à-dire (juc non seulement la connexion est établie entre les méthodes inverses que les mathématiciens avaient découvertes, mais encore que l'identité fondamentale est reconnue entre les divers domaines auxquels ces méthodes étaient appliquées : arithmétique ou algèbre, géométrie, mécanique. L'analyse newtonienne, située au point de convergence des différentes disciplines de la mathématique, est indivisiblement, comme l'analyse leibnizienne, une promotion delà science tout entière.

De là résulte la forme que prend chez Newton l'exposé des principes du calcul infinitésimal. Newton ne se renl'erme pas dans un domaine particulier, il ne s'astreint pas à un langage fixe. Dans Vlntroductio ad quadraturam curvarum{llOi), il part de considérations sur la genèse des quantités mathématiques, qu'il rattache aux constructions géométriques des anciens : « Lineœ describuntur ac desci^ibendo generantur non per appositionem partium, sed per motum continuum punctorum... Hœ genèses in rerum natura locum vere habent et in motu corporum quotidie cemuntur^. » L'élément de génération, ce sera donc la vitesse du mouvement de croissance; il est aisé de saisir cet élément, et de l'introduire dans le calcul, en prenant l'accroissement de la grandeur pendant un intervalle de temps aussi court que possible et en déterminant le « premier rapport » de cet accroissement « naissant » à l'intervalle minimum du temps considéré comme variable indépendante. La grandeur ainsi engendrée est celle qui est communément donnée dans l'expérience ; aussi, tandis que Leibniz invente pour ses sommes le signe de l'intégrale, Newton se contente-t-il pour celte grandeur engendrée, ou fluente, des signes ordinaires de l'algèbre. Lélément générateur, ou fluxion, est désigné par un point au-dessus de la lettre — notation choisie de façon à permettre de constituer des fluxions de fluxions, et à faire apparaître, par la suite des symboles indiquant nettement les combinaisons dont ils