POSITION DU PROBLÈME : LOGIQUE ET MATHÉMATIQUE

117. — A vrai dire, la tâche n'est pas sans difficulté de fixer objectivement Tidée de la philosophie mathématique chez Leibniz, tant en raison des circonstances matérielles de l'œuvre que de l'ampleur de génie dont elle témoigne.

Tout d'abord, Leibniz n'a pas composé le grand ouvrage De la science de rinfini qu'il avait promis tant de fois à ses contemporains, et où ils auraient trouvé non seulement l'exposé définitif des méthodes de l'analyse infinitésimale, mais encore la théorie générale qui, fondant l'algorithme nouveau sur les liaisons de notions claires et distinctes, en aurait fait en même temps une introduction à la métaphysique. Les idées de Leibniz ont été livrées au public du xvii" siècle sous la forme d'articles dont les formules brèves et frappantes ne révélaient qu'à demi leur véritable sens; ou bien elles apparaissent dans des lettres, traduites dans le langage que Leibniz supposait le plus approprié à la physionomie particulière de son correspondant ; ou encore elles sont indiquées à l'état de notes et de projets dans la masse d'écrits qui sont conservés à la Bibliothèque Royale de Hanovre, et dont on entreprend seulement maintenant de publier un inventaire exhaustif.

Non seulement la « notion complète » de la philosophie leibnizienne est devant l'historien comme un idéal dont il pourra tout au plus espérer s'approcher par degrés; mais c'est une question

1. Lettre du 3-13 septembre 1696. Nouvelles IcUres et opuscules, Ed. Foucher de Careil, 1857, p. 327.

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préalable à toute étude du leibnizianisme que de déterminer vin « centre de perspective » tel que le proj^rès de cette étude n'en soit pas arrêté. Jusqu'à la fin du xix*" siècle le leibnizianisme avait été interprété en général comme une philosophi(; du type nialhémalique. i^our MM. Russell et Couturat, qui ont publié pros(jM(^ sinuiilanénirnt le, résultat de recherches indépendantes ', ce serait une philosophie de type logique, comme celle d'Aristote ou de la scolastique.

En ciret, Leibniz n'envisage pas l'arithmétique et l'algèbre comme des disciplines autonomes; ce ne sont que des « échantillons » d'une science plus générale, ou plutôt de la science universelle, la Symbolique ou la Caractéristique^. C'est de cette science que dépendrait alors le développement des différentes parties de la mathématique. Ainsi, le retard de la géométrie sur l'arithmétique et sur l'algèbre viendrait de ce qu'elle ne possédait pas encore une notation symbolique qui ait été constituée uniquement pour elle, et qui lui soit exactement appropriée; le génie de Leibniz s'efforce de combler cette lacune par la création de ce qu'il appelait VAiialysis situs^'. D'autre part, si la découverte du calcul différentiel a reculé les limites de « l'art d'inventer », c'est que, chez Leibniz du moins, elle s'inspire du dessein de la caractéristique universelle, et qu'elle apporte un algorithme adéquat aux notions impliquées dans les processus de la différenciation et de rintégration. La mathématique est donc une application de la logique. Par suite, le passage ne se fait pas directement chez Leibniz de la mathématique à la philosophie. Entre les deux s'interpose la logique, logique qui pour être renouvelée par l'usage d'algorithmes précis et par un système •rigoureux de combinatoire , pour paraître susceptible d'être étendue à la totalité du monde intellectuel, n'en repose pas moins sur les catégories fondamentales de la métaphysique aristotélicienne. Le problème de la connexion entre la science leibnizienne et la philosophie leibnizienue s'exprimera donc dans les termes correspondant aux préoccupations des péripa-

1. La philosophie de Leibniz, Exposé critique, Cambridge, 1900 (tr. fr. de Jean et Renée-J. Ray, Paris, F. Alcan, 1008), et La Logique de Leibniz d'après -des documeats inédits. 1001 (Paris, F. Alcan).

2. Voir lettre à Tschirnhaus, 1684, M. IV, 465 — Leibniz dira de même, à Bayle, vers 1698. G., IV, .571 : « J'ai insinué ailleurs qu'il y a un calcul plus important que ceux de l'Arithmétique et de la Géométrie, et qui dépend de l'Analyse des idées. Ce serait une Caractéristique universelle dont la formation me parait une des plus importantes choses qu'on pourrait entreprendre. »

3. Voir dans l'ouvrage de M. Couturat, La Logique de Leibniz, le chapitre ix, consacré au Calcul géométrique, p. 388 et suiv.

téticiens et des scolastiques; il lournera autour de la relation d'inhérence entre le prédicat et le sujet : « Toujours dans toute proposition affirmative véritable, nécessaire ou contingente, universelle ou singulière, la notion du prédicat est comprise en quelque façon dans celle du sujet, prœdicatum inesl subjecto\ ou bien je ne sais ce que c'est que la vérité '. »

118. Il n'est pas douteux que cette interprétation du leibnizianisme n'ait une attache solide dans les textes, soit dans la Correspondance avec Arnauld et dans le Discours de Métaphysique, soit dans une série d'écrits et de notes dont nous devons à M. Couturat la pubhcation méthodique. D'une part, aux environs de l'année 1686, Leibniz a cru qu'il pourrait, en demeurant à l'intérieur de la logique traditionnelle, rallier des penseurs autorisés, tels qu'Arnauld, à ses vues personnelles sur l'individuaUté des substances et sur 1' « harmonie préétablie ». D'autre part, à travers toute sa carrière il n'a cessé d'ébaucher des plans et de construire des fragments d'édifice pour l'élargissement de la syllogistique aristotélicienne, qui avait été déjà le but de sa première dissertation de Arte Combinatoria (1666), et pour l'établissement de la Caractéristique universelle. La persistance et la multitude de ces tentatives, dont Gerhardt et surtout M. Couturat ont recueiUi les traces, nous obligent à réserver, dans l'examen du leibnizianisme efTeclif, les droits d'un leibnizianisme idéal, qui ne parvient sans doute pas à prendre corps dans un système définitif, mais qui ne cesse de projeter son ombre sur les thèses que Leibniz a réellement soutenues-. Peut-être, quand nous aurons à expliquer l'échec final de l'intellectualisme mathématique chez Leibniz, sera-t-il nécessaire de faire appel à l'autorité inavouée de ces cadres logiques que l'analyse infinitésimale aurait dû avoir pour eflet d'élargir ou de supplanter.

Il n'est pas douteux non plus que la considération de ces écrits n'ait renouvelé l'intérêt des études leibniziennes. En prenant pour centre de ses critiques la relation du sujet au prédicat, peut-être est-il arrivé à M. Russell d'introduire dans son exposé du leibnizianisme quelques-unes des difficultés mêmes

1. A Aruauld, juin 1686, G, II, 56. Cf. Initia et specimina Scientiœ Generalis. G, Vil, 62. «... De re aliqua nihil [a] nobis demonstrari potest ne ab Angelo quidem, nisi quatenus requisita ejus rei intelligimus. Jam in omni veritate omnia requisita prœdicati continentur in requisitis subjecti, et requisita effectus qui quœritur continent artificia necessaria ad eum produceudum. >>

2. Cf. Hannequin. La philosophie de Leibniz et les lois du mouvement, dans Études d'histoire des sciences et d'hisloire de la philosophie, t. II, 1908, p. 240, et

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que Leibniz se proposait d'écarlcr par rinvenlion do la logique infinitésimale'; il est silr, en tout cas, qu'il a réussi à mettre définitivement hors de toute contestation les contradictions ({u'enlraînail la conception leibni/.icnnc dcrespace-.

Dautre part-, comme Ta montré M. (-outurat, il se dégage des esquisses logiques de Leibniz le plan idéal d'une construction dont un Hoole ou un Grassmann ont eu la gloire d'édifier certaines parties, qui a trouvé avec un Peano et un \\'hitchead son achèvement systématique''; et il est arrivé ainsi à Leibniz, ce qui est arrivé à Pascal, d'agir au début du xx^ siècle comme un contemporain agit sur des contemporains : de même qu'on a demandé à Pascal un secours contre la doctrine rationnelle de la vérité, on a demandé à Leibniz de réfuter la théorie kantienne des jugements synthétiques a priori.

119. — Ces points accordés — et ils ont pour lintelligence comme pour l'appréciation du leibnizianisme une importance capitale — nous avons à nous demander si, en fait, la pensée de Leibniz ne s'est pas infléchie sous la pression de ses découvertes scientifiques. Malgré lui peut-être, et sans oser d'ailleurs pousser complètement à bout les dernières conséquences de cette substitution, Leibniz a substitué à la syllogistique d'Aristote, qui repose sur une division exacte d'un concept dans les éléments de sa matière, la méthode propre à la science infinitésimale; l'application de ce processus tout mathématique aux divers problèmes de la mécanique, de la psychologie, de la métaphysique paraît bien avoir constitué la partie solide et directement féconde de la doctrine.

Il suffira de considérer à cet égard la formule même où M. Couturat résume son interprétation du leibnizianisme* : « ... toute vérité est formellement ou virtuellement identique, ou comme dira Kant, analytique, et par conséquent doit pouvoir se démontrer a priori au moyen des définitions et du principe d'identité^ » — et M. Russell, dans la Préface de la traduction française