Couturat, Opuscules, etc., p
l'algèbre cartésienne et l'analyse infinitésimale. Que l'on considère la circonférence du cercle : dans le domaine du fini, elle offre le type de la construction simple et uniforme; en prenant le centre du cercle pour origine des coordonnées rectangulaires, on obtient comme conséquence immédiate du théorème de Pylhagore l'équation cc--h i/-^R-. Il y a pourtant avantage à envisager le cercle comme polygone d'une infinité de côtés. Cette définition, qui paraît inutilement compliquée tant qu'on s'en tient aux propriétés élémentaires, est, en réalité, la seule qui assure le progrès de la science. Déjà il est nécessaire d"y faire appel pour calculer la longueur de la circonférence ^ Mais surtout la considération de cet élément différentiel, qui n'est simple que par accident dans le cercle, parce que la courbure du cercle est constante, permet la généralisation de l'analyse géométrique. Dans une courbe en général, il y a lieu de distinguer deux ordres de rapport : le rapport de la courbe à la direction, prise entre deux points infiniment voisins, c'est-à-dire à la tangente, et le rapport de cette tangente elle-même à un nouvel élément différentiel, à celui qui exprime le changement de la direction : « Dans les parties infiniment petites d'une ligne quelconque, on peut considérer non seulement la direction, declivitas aiit inclinatio, comme il a été lait jusqu'ici, mais aussi le changement de direction, la courbure, flexiira; et de même que les Géomètres ont mesuré la direction par la ligne la plus simple qui aurait en un point de la courbe la même direction qu'elle, c'est-à-dire par la droite tangente, je mesure la courbure par la ligne la plus simple qui aurait au même point non seulement la même direction, mais aussi la même courbure, c'est-àdire par le cercle qui non seulement touche, mais ce qui est plus embrasse la courbe proposée -. » La suite de cette Méditation a pour objet de montrer comment, au moyen de la détermination des angles de contingence ou des angles d' oscillation, que les
1. Voir la note des Acta Eruditoram de Leipzig (1684) : De dimensionibus curvilineorum, additio ad schedam de dimensionibus figuraruin inveniendis , où Leibniz rappelle ce principe : « quod figura curvilinea censenda sit œquipollere polygono infinitorum laterum » et il ajoute : « unde sequitur, quidquid de tali polygono demonstrari potest, sive ita ut nullus hajjeatur ad numerum laterum respectas, sive ita ut tanto magis verificetur quanto major sumitur laterum numerus, ita ut error tandem flat quovis dato minor; id de curva posse pronuntiari. Unde duœ oriunlur methodorum species, ex quibus meojudicio pendet quidquid vel hactenus invontum est circa dimensioncs curvilineorum, vel impostcrum poterit inveniri «. M, V., 126,
2. Meditalio nova de natura anguli contactas et osculi, honimque usa in practica Mathesi ad figufas faciliores saccedaneas difficilioribus substituendas, Acta Eruditorum Lipsiensorum, 1686. M, VII, 32.
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(léoiiKMres de la ^énéralioii précédcnLo avaient employée à Litre tl'expédieiit, on peut retrouver dans l'analyse d'une courbe quelconque une hiérarchie d(î f^randeurs incomj)arables les unes aux autres, comme la ligne l'est déjà par rapport à la surface ou la surface par rappport au corps lui-même.
Les degrés successifs de di(ï"ér(;nciatioii créés par l'algorithme de l'analyse de l'infini sont doue tout autre chose qu'un jeu d'écriture symbolique; ils constituent une méthode véritable d'explication, qui, à l'épreuve, va se révéler universelle. Le principe de contiiuiilé, dit Leibniz « est absolument nécessaire dans la géométrie, mais il réussit encore dans la physique '. » De fait, la réforme de la mécanique cartésienne, que Leibniz accomplissait dans cette même année 1686, ne pourra s'expliquer complètement sans l'intervention de concepts que seule l'analyse infinitésimale pouvait fournir *.
