LA MONADOLOGIE

plicem Uncdrum con.striictionem, ex data langentium condilione.

Leibniz commencopar rappolor les travaux do Dosaj-^ues*; au lieu de s'nppuyer sur les coordonnées rectangulaires de Descartes, Desargues part de la considération de la convergence et de la divergence des droites et il fait rentrer le parallélisme dans le cadre de la convergence, en supposant que les droites l)arallèlcs ont un point de concours à l'infini. Sur le modèle d'une semblable généralisation, il est possible de concevoir entre des lignes une infinité de relations de position, qui seront susceptibles d'être interprétées par de nouveaux systèmes de calcul pourvu seulement qu'il y ait une loi faisant correspondre à chacune de ces lignes un élément géométrique déterminé. Par exemple l'observation des caustiques de réflexion suggère que l'on peut former un système de lignes qui ne constituent pas, à proprement parler, un faisceau convergent, mais qui est pourtant un système régulier : deux lignes très voisines, c'est-à-dire, suivant les expressions employées par Leibniz, différant infiniment peu ou ayant une distance infiniment petite, sont convergentes, et le point de convergence peut être assigné. L'ordre de tous ces points de convergence engendre une ligne de convergence qui est le lieu commun de tous les points de convergence des lignes voisines, et offre cette particularité remarquable d'être tangente à toutes les droites dont les intersections mutuelles le constituent.

La description de ces relations géométriques montre avec quelle facilité le calcul infinitésimal en fournira l'interprétation analytique : le passage d'un point de la tangente à un point infiniment voisin correspond à la différenciation. En comparant les équations qui expriment deux lignes de la série, nous pourrons séparer les coefficients constants et les coefficients variables des équations; les premiers constituent des paramètres indifferenliables qui correspondent aux conditions générales des lignes; les seconds constituent les éléments di/férentiables qui permettent de passer d'une ligne particulière à la ligne voisine.

Cette méthode, tirée de l'observation d'une famille de droites peut être étendue à une famille de courbes. Leibniz en précise l'application dans son mémoire de 1694. Il appelle « équation primaire » celle qui donne la loi de série des courbes et qui en explique la nature commune; il apprend à former à côté d'elle les « équations accessoires » qui traduisent la dépendance réciproque des coefficients variables, et qui donnent le moyen

l. .1/, V, 266 et suiv.

d'établir le passage de courbe à courbe : Iransilum de curva in curvam. Par exemple, {x — b)--]-y- = ab est Féqualion d'un cercle où b est un paramètre variable. L'équation peut se mettre sous la forme 6-=(aH-2a?) 6 — x- — y-. La différenciation suivant 6 conduit à la relation b=zx-r-^; introduite dans l'équation du cercle, cette relation donne y- = a(x^ jV c'est-à-dire

que V enveloppe de la série des cercles est une parabole ' .

Le succès de ces inventions mathématiques éclaire l'invention delà métaphysique leibnizienne ;la relation entre l'équation particulière d'une courbe et l'équation générale de la famille, c'est, d'une façon très précise, la relation d'une monade particulière au système général des monades. Leibniz le l'econnaît dans la conclusion de ses Remarques en réponse aux objections de Bayle, où il résume tout le développement de sa spéculation métaphysique : « Lorsqu'on dit que chaque Monade, Ame, Esprit, a reçu une loi particulière, il faut ajouter qu'elle n'est qu'une variation de la loi générale qui règle l'univers; et que c'est comme une même ville paraît différente selon les différents points de vue dont on la regarde. Ainsi ... le monde ayant déjà une variété infinie en lui-même et étant varié tel qu'il est et exprimé diversement par une infinité de représentations différentes, il en reçoit une infinité d'infinités -. »

La conception philosophique qui procède de l'idée mathématique des « lois de série » est donc d'une portée absolument générale^; elle donne ouverture enfin pour découvrir en Dieu le principe géométrique qui a présidé à la création de l'univers. L'unité de la loi suivant laquelle procèdent les termes de la série manifeste Vordre\ l'infinité des termes qui en procèdent manifeste la richesse.

De l'infinité des combinaisons infinies que Leibniz attribue à la « sagesse de Dieu * », sort un univers dont le « progrès ordonné ^ » satisfait aussi exactement que la géométrie à la loi