LA POSITION DU PROBLEME

La « philosophie ox{)érimcnlale » de Newton conçoit d'une tout autre façon rallinnce des mathématiques et de l'expérience. C'est à l'expérience qu'il appartient de fonder et de justifier les formules mathématiques de la physique; et la valeur de l'expérience est précisément qu'elle fait éclater les cadres trop étroits de Tévidence métaphysique, qu'elle établit des types de relations auxquels le raisonnement pur n'aurait pas conduit. Quelles sont alors pour le dogmatisme rationaliste les consé- ([uenccs d'un semblable principe? A la lecture des Essais de Hume concernant ienlendement humain (17 i9; la traduction allemande est de 1756), elles se manifestent aux yeux de Kant sous la forme suivante ' : il est possible que des connexions d'idées, résultant d'une démonstration en règle, participent à la nécessité de cette démonstration et qu'elles conservent leur rigueur quelque application qui en soit faite; mais nécessité et universalité sont dépourvues de toute signification intrinsèque lorsqu'il s'agit de successions de fait, enregistrées telles quelles, dans un moment déterminé et avec les circonstances particulières dont elles sont inséparables, La forme primordiale de la relation, c'est V association entre états de conscience, reposant sur des conditions de lieu, de temps, etc., qui sont extérieures à la nature de ces états, et à qui l'habitude communique la force d'engendrer des croyances en apparence naturelles.

La philosophie de Hume serait ainsi la doctrine de l'attraction, ramenée de son application cosmologique à sa source psychologique, dépouillée de la forme quantitative d'où elle tenait son caractère de science exacte, et ne comportant plus que des relations qualitatives, d'apparence contingente et particulière - ; de telle sorte que par une conséquence étrange, l'extension de la science newtonienne au domaine de l'esprit avait pour résultat de mettre en doute la capacité même de l'homme à établir une science, et par suite, ébranlait la base

d'ombre, sans considérer que pour placer une partie de l'espace dans l'ombre il était nécessaire d'y introduire un corps, c'est-à-dire quelque chose de réel qui résiste à la lumière. » (Édit. Ilartenstein, t. VIII, 1868, p. .ï44.)

1. Cf. Delacroix, David Hume et la philosophie critique, Bibliothèque du Congrès International de philosophie (Paris 1900), t. IV. 1902 p. 349 et suiv.

2. Cf. Traité de la nature humaine (1139-17 M) de Ventendement Part. I, sect. IV. « C'est là une espèce d'attraction qui, dans le monde mental, se trouve avoir des effets aussi extraordinaires que celle du monde naturel, et qui se présente sous des formes aussi nombreuses que variées. Ses effets sont partout manifestes; mais, quant à ses causes, elles sont en grande partie inconnues et doivent être ramenées à des qualités originelles de la nature humaine que je ne prétends pas expliquer. ■• Edit. Green-Grose, Londres, t. I, 1874, p. 321 et tr. Renouvier-Pillon, 1878, p. 23.

même de l'édifice newtonien. Ce que Kant retiendra des Essais de Hume, c'est la séparation radicale entre les vérités de raison et les vérités de fait. « L'usage logique de la raison » consiste à enchaîner les unes aux autres les relations d'idées, à l'aide d'une substitution de termes qui est purement analytique. L'expérience, entendue dans ce sens psychologique où Leibniz la prenait déjà lorsqu'il faisait du Cogito la première « vérité de fait », est incapable de fournir autre chose que des impressions toutes subjectives et toutes passagères ^

150. — Dans ces conditions, entre le domaine de la pure logique et le domaine de la pure sensation, il n'y aurait plus de place pour la science proprement dite, celle par laquelle les règles de la pensée s'appliquent aux données de la perception ; la justification de la physique rationnelle paraît désespérée. C'est à ce moment que la théorie de la connaissance mathématique entre en jeu. Tout au moins dans la période d'élaboration comprise entre la Dissertation de 1770: de Mundi sensibilis atque intelligibilis forma et principiis, et la publication de la Critique de la Raison pure (1781), Kant s'avisa que la solution du problème relatif à la science de la nature était comme le corollaire de la solution d'un problème analogue qui, au lieu de porter sur la physique, c'est-à-dire sur l'application de la mathématique à l'expérience, serait intérieur à la mathématique ellemême. Or, en face des mathématiques, le doute sceptique de Hume qui pouvait assez légitimement paraître lié à l'analyse de la causalité, revêtirait un caractère de paradoxe dont Kant suppose que le sage auteur des Essais eût été effrayé : « David Hume, écrit-il dans la seconde édition de la Critique, qui de tous les philosophes s'est le plus approché du problème [Comment sont possibles des Jugements synthétiques a priori?], esi pourtant loin de l'avoir conçu d'une façon suffisamment déterminée et dans son universalité... car il aurait aperçu que, suivant son argumentation, il ne pouvait pas y avoir non plus de mathématique pure... affirmation contre laquelle son bon sens l'aurait bien mis en garde -. «

1. Cf. Rejlexionen Kants zur Kritik der reinen Vernunft, n° .ÏOO (Benao Erdmann, 1884, p. ITio). •■ Aile analytischen Urtheile siiidratioaal und umgekehrt; aile synlhetischcn Urtheile sind cinpirisch uiid iimgekohrt. »

2. Introduction IV, B, 10. AKB, III, 40, tr. Barni, désignée ultérieurement par Ba, 1869, 1,63, et Tremesaygucs et Pacaud, désignée par TP, 1903, p. 5-3. \o\v Critique de la raison pratique, Vîèia.ce AKB, Y, 1908, p. 13, Picavet, 1888,

LA CONCIM'TION TKCIINiyUK UKS MATIIEMATIQUK.S 2b'

LA CONCEPTION TECHNIQl'E DES MATHEMATIQUES

loi. — I.a liansposilion à laquelle nous venons de faire allusion, explique coninienl la philosophie mathématique est devenue la pierre angulaire de la Critique de la Raison pure. Elle explique en uK^me temps comment la philosoj)hie mathématique chez Kanl ne sera nullement comparable à celle que nous avons vue, dans le cartésianisme et dans le leibnizianisme, jaillir de progrès techniques, capables de renouveler Tidée que Tesprit se fait de lui-même et de son aptitude à prendre possession de l'univers. Kant ne s'adresse pas aux méthodes originales de la mathématique moderne pour qu'elles lui suggèrent une vision plus profonde de l'intelligence humaine. Sa méditation se concentre sur les parties élémentaires, dont la vérité se trouve depuis des siècles unanimement reconnue et qui retiennent la pensée dans un horizon bien délimité. L'addition des nombres entiers ou les premières propositions d'EucIide lui fournissent ses types habituels de référence : 7-f-5^/^, ou la somme des angles d'un triangle est égale à deux droits. Pour lui l'arithmétique et la géométrie ont le même caractère de perfection qu'il reconnaissait à la logique d'Aristote. Le raisonnement les constitue, conférant à toutes les parties de la théorie une valeur incontestable de nécessité et d'universalité; et le raisonnement y est d'autant plus assuré de lui-même qu'il a, au même titre que le syllogisme d'Aristote, la certitude de rencontrer dans l'expérience la représentation de chacun de ses éléments, la confirmation de chacune de ses articulations ^

Il faudrait même aller plus loin : la formation << fragmentaire » de la philosophie critique donne le moyen d'apercevoir comment sous l'influence de cette physique newtonienne, dont elle devait plus tard servir à justifier la valeur rationnelle, l'idée de la mathématique a subi chez Kant une sorte de glisse-

1. Le processus de la pensée kantienne est, nous semble-t-il, éclairé par la remarque suivante qu'on trouve dans les Nouveaux Essais de Leibniz (IV, 2 § 9) : « Ce qui a fait qu'il a été plus aisé de raisonner démonstrativement en mathématiques, c'est en bonne partie parce que l'expérience y peut garantir le raisonnement à tout moment, comme il arrive aussi dans les ligures des syllogismes. Mais dans la métaphysique et dans la morale, ce parallélisme des raisons et des expériences ne se trouve plus; et dans la physique, les expériences demandent de la peine et de la dépense. » Cf. Cournot, Traité de V Enchaînement des Idées fondamentales dans les sciences et dans Vhisloire (1861) § ^. « La logique aristotélicienne, à cause de sa nature purement formelle, comporte bien, comme les mathématiques, une sorte de vérification expérimentale. » 2° édition, 1911, p. 6.

Brunschvicg. — Les étapes. 17

ment inconscient, qui a eu pour résultat de faire porter les démonstrations de Tarithmétique ou de la géométrie directement sur les choses nombrées ou sur les figures tracées. Plus tard sans doute, lorsqu'il compose la Critique ou les Prolégomènes, Kant croira qu'il va de la « mathématique pure » à la physique; mais la question est de savoir s'il n'a pas commencé par substituer à la notion de la mathématique pure une conception de V arithmétique appliquée et de la géométrie appliquée, de telle sorte que le passage de l'arithmétique ou de la géométrie à la physique ne sera en fait que le passage d'une forme simple à une forme plus complexe de la mathématique apphquée. 152 — A cet égard, on peut relever comme caractéristique l'écrit important de 1763, qui marque la rupture décisive de Kant avec la logique mathématique de Leibniz : Versuch den Begriff der negativen Grôssen in die Welliveisheit einzufiihren. Si nous considérons une série de grandeurs qui vont en décroissant à partir d'une quantité positive quelconque, nous obtenons la grandeur négative par une marche linéaire de l'esprit, ou, comme dira Kant, en 1791, par une simple dégradation de lumière. Mais nous ne possédons alors qu'une représentation statique de la grandeur négative: or, si les grandeurs négatives interviennent dans un calcul pour modifier le résultat total, c'est qu'elles sont autre chose qu'une absence de grandeur positive S c'est qu'elles ont une efficacité d'opposition, qu'elles exercent une action positive, comme un écran est un obstacle positif à la transmission de la lumière. Les exemples que Kant présente à l'appui de sa thèse sont particulièrement significatifs. Un navire va du Portugal au Brésil; en sept jours il gagne 19 milles ; il se peut que les vents aient contrarié sa marche, qu'ils l'aient ramené pendant un certain temps de l'ouest vers l'est, de telle manière que pour mesurer le gain final de 19 milles, il ait fallu faire la différence entre le parcours direct qui rapproche le navire de son but, et le parcours inverse qui l'en éloigne. Supposons qu'il ait dû ainsi etïectuer 8 milles à rebours, on comprend que ce chemin doive entrer dans l'équation à titre de grandeur négative; le navire aura fait 27 milles dans la direction de l'ouest, nous écrirons : 27 — 8 = 19. - Mais la traduction mathématique de l'écriture et la

1. Cf. WollT, Elementa analyseos mathematicœ. Halle, 1717, Part. I, § 19 et 20. « Suât ideo quantitates privata? verarum, per quas intelliguntur, defectus; consequenter non quantitates verœ. Defectum per eam quantitatem metimur quœ déficit, et sic inteliigibilis evadit. »