LES NOMBRES-POINTS

18. — Les allusions des anciens aux divers voyages de Pytha- ^ore sont trop éloignées des sources pour avoir une valeur historique ; il apparaît cependant quon ne saurait rendre compte de la formation de la doctrine pythagoricienne sans regarder du côté de l'Egypte, surtout peut-être du côté de l'Asie. En elîet, et sans que nous puissions dire avec exactitude quelle y fut la part de chacun, nous trouvons les penseurs ioniens de la génération des Thaïes et des Anaximandre occupés à un travail astronomique qui se relie directement aux recherches favorites des Chaldéens; ils dressent la carte du ciel en connexion avec les divisions zodiacales; ils établissent le tableau des constellations ^ Ce travail, du point de vue où nous allons nous placer, présente un intérêt tout particulier. Observée à l'œil nu, en effet, une constellation a deux caractéristiques : le nombre des astres qui la constituent, et la figure géométrique qu'elle dessine dans le ciel. Ces caractéristiques sont au même titre des données immuables et objectives; une association se forme entre elles qui se revêt de nécessité naturelle et qui peut servir de base à une conception générale de l'Univers. Nous trouvons là, sinon l'origine, du moins l'illustration saisissante de la doctrine pythagoricienne. De même que les constellations ont un nombre qui leur est propre, toutes les choses connues ont un nombre, puisque le nombre est la condition même de leur connaissance. La formule de Philolaos que Stobée nous a conservée, est d'une remarquable précision - : Kal rravTx -^v. aàv Ta Y'vwcxoaevx ap'.6|xov

1. Paul Tannery, Pour l'Histoire de la Science hellène, 1887, ch. iv, § 3, p. 84.

2. H. Diels, Die Fragmente der Vorsokratiker, [" vol. 2° édit. Berlin, 1906,

Brunschvicg. — Les étapes. 3

t/o-^xr où yàc o\i\ te oùSèv oure voïiOf|[j,ev outs Yvco<70/;|i.£v avsu toûtou. Cette formule n'exprime pas encore, semble-t-il, tout le contenu du pythagorisme. Non seulement toutes choses possèdent des nombres; mais encore toutes choses sonlàes nombres. Entre autres témoignages d'Aristote, il suffit de relever ce passage du chapitre consacré, dans le premier livre de la Mélap/iysique, aux Pythagoriciens : <î)atvovTai Sy) xai olzoï -rôv apiOixôv vojjliCovteç iç,yr,\, sîva-. x.al w; u>.r,v toTç oùci xat wç TraOr, te xal £;£;;*. Proposition qui du temps d'Aristote déjà constituait un paradoxe-, qui devait prendre un air de plus en plus étrange à mesure que la réflexion séparait davantage ce qui est de Tordre de l'intelligence et ce qui est de l'ordre de la réalité. Le nombre est un concept; les choses sont des objets ou des substances. Comment prétendre que le nombre soit à son tour objet ou substance? Le difficile, à dire le vrai, nous paraît ici que l'on sache ne pas s'engager dans le problème soulevé par un historien systématique qui faisait entrer les conceptions des Présocratiques dans le cadre des catégories et des causes. Au lieu de chercher le passage d'une notion abstraite à la réalité concrète, il conviendrait sans doute d'enlever à la notion de nombre la signification abstraite que nous sommes habitués à lui attribuer, de lui réintégrer en quelque sorte l'application intuitive qui, pour les Pythagoriciens, en était inséparable, de voir un point lorsqu'on parle d'une unité, et, lorsqu'on parle d'un nombre, de voir un groupe de points dessinant une figure de la façon dont les étoiles dessinent une constellation ^ Bref, avant de dire que les choses sont des nombres, les Pythagoriciens avaient commencé par concevoir les nombres comme des choses; les expressions de nombres carrés ou de nombres triangulaires ne sont pas des métaphores ; ces nombres sont effectivement, devant les yeux et devant l'esprit, des carrés et des triangles \ Aussi, lorsque Eurytos disposait des cailloux en nombre déterminé de manière à obtenir par la forme de leur assemblage le nombre constitutif de telle ou telle réalité,

2. Voir le passage relatif aux Pythagoriciens, dans Met., N. 1090^ 32 :

■/.ata (lÉvTo; tô ttoicIv È; àptôjAwv ta ç-jo-ixà o-wjAata, k/. (jtr) è-/ôv:wv pipo; ,ay;gs -/.o-jf6Tr,Ta r/ovTa y.o-jyÔTYiTa xai pâpor.

3. DeCœlo.m. i, .300^ 16 : h:o: -.-ip tt.v ç-j^cv è? ip.O|j.wv !7-jv.ïTà<7iv. wrjTrsp tùiv n-jôayopsiwv tiveç. Suivant le livre M de la Métaphysique, les Pythagoriciens constituent le ciel tout entier avec des nombres; mais ces nombres ne sont pas des unités au sens spécifiquement arithmétique, ce sont des unités qui ont une grandeur : tôv yip à>.ov oOpavbv y.ataaxrjâCo-jff'.v è; àp;6|xaiv, 7r/r,v o-j [lovKÔiviâJv, àUà Tàç p.oviga; •jTîoXajj.êâvo'jd'.v ïyziy [jiyEÔo;, 6 1080''i8.

4. Cf. pour cette interprétation du pylhagoris'me Mi'lhaud, les Philosophes géomèlrcs de la Grèce, Platon et ses prédécesseurs, 1900, p. 107.

II- nombre de l'homme ou le nombre du cheval ^, il ne Taisait nullii lient, comme l'en accuse l'auteur du livre N de la Métaphysi- 'jio:, la parodie de la doctrine pythagoricienne'. Il usait d'un |)r()cédé rapide et sim{)lisLe jjour donner satisfaction à l'exigence psychologique que nous retrouverons dans plus d'un système le philosophie mathématique, pour offrir à l'esprit un objet qui lut à la fois, selon le langage des Cartésiens, objet de l'imagination et objet de l'entendement.

Kncore convient-il de préciser : tandis que la géométrie analyti(|uc unira dans une synthèse originale ce qui avait été préalal)l('ment dissocié, idée algébrique et objet étendu, l'arithmétique i^n'-ométrique des pythagoriciens atteste simplement la connexion inséparable, l'implication spontanée et comme naïve, de deux éléments que seule la réflexion ultérieure devait disjoindre. La pensée mathématique, au lieu d'aller de la nécessité al)straite à l'application concrète, enveloppe toutes les fonctions de l'esprit dans une sorte d'intuition intégrale où elle trouve son écjuilibre et sa plénitude. Le nombre est présenté immédiatement comme une somme de points figurés dans l'espace, et les ligures — lignes, surfaces ou volumes — qui se trouvent tracées par ces points sont immédiatement données comme des nombres.

19. — A cette conception générale du nombre, quelle qualité particulière de science répond chez les Pythagoriciens? Il importe d'entrer ici dans quelques détails ; la question a plus qu'un intérêt historique; elle sert à fixer la physionomie originflle d'une doctrine que nous verrons réapparaître au cours de l'évolution de la mathématique moderne^.

Le premier trait de l'arithmétique pythagoricienne, c'est qu'elle est une théorie des nombres. Et, en effet, puisque les nombres sont, non plus des auxiliaires du calcul, des moyens « logistiques », mais des réalités naturelles, il convient de les considérer chacun à part, afin d'en déterminer les propriétés intrinsèques. Une fois qu'on se place ainsi à l'intérieur de chaque nombre, ses propriétés caractéristiques apparaissent comme les conséquences des opérations par lesquelles le nombre lui-même

1. Met. y. o, 1092" 10, avec le commentaire d'Alexandre, Ed. Hayduck, IJerlin, 18'JÎ, p. 827, apiid Diels, op. cit., p. 249.