Vide infra, 1. V, ch. xv

a été atteint et défini; ces opérations décident de la forme du groupe de points qui constitue le nombre dans son essence. Et comme la plus simple et la plus féconde de ces opérations est la duplication, le principe de la classification pythagoriciennne est emprunté à la considération des nombres qui sont produits par la duplication, et susceptibles par suite de dimidiation. Le nombre disait Philolaos, a deux formes propres, l'impair et \e pair : "O ya [xàv àp'.6|AÔç eytt Sûo u.£v Vota sIStj, •jrepiTO'ôv xai apTiov*. A cette distinction correspond une opposition fondamentale qui, dans la jeune école pythagoricienne au moins, rejoindra Tanlithèse cosmologique du limité el de l'illimité, et fournira une base à la table des dix oppositions, qu'Aristote nous a transmise'-.

On peut entrevoir, dune façon encore grossière sans doute, comment la connexion s'est établie entre limpair et le limité d'une part, entre le pair et lillimité d'autre part, si l'on considère les classifications numériques que les historiens de la mathématique rapportent aux Pythagoriciens. Déjà Philolaos ajoutait au pair et à l'impair une troisième espèce : ràpTtozs- P'.iTcov. Cette dénomination qui a été quelquefois appliquée à l'unité^, désigne aussi, suivant Jamblique*. les nombres pairs tels que 6 ou 10 qui à la première dimidiation donnent des nombres impairs. A cette acception se rapporte la distinction entre les nombres pairs qui comprennent parmi leurs facteurs un nombre impair intervenant à un moment donné pour mettre un terme à la dimidiation, rïc.'îaâpT'.o'. ^, et les nombres pairs qui ne sont pas sujets à cette limitation, qui se résolvent complètement par dimidiation, àptiaxt; apno-. ®.

D'autre part, à côté de la duplication, ou de la dimidiation, l'addition joue un rôle dans la formation pythagoricienne des nombres; Philolaos exalte la décade, norme de l'univers, puissance ordonnatrice des hommes et des dieux : MsyàXa yàp xx\ TravTsXriç xaî itavToepYÔÇ xai ôet'co xai oùpav'o) jiJ''a) xal av6pco7:ivw àp/à xal ri'{ziLoi\> xo'.vojvoÛTa... oûvx;j.(ç xat -a; oîxiSoç''. La vertu de la décade est qu'étant constituée par la somme des quatre premiers nombres 1 -h 2-1-3-1-4. elle enferme la nature des diverses