Op. cit., p. Lxxxv

seulement préciser une relalion crinfluence entre Lagrange et Comte; ce sera peut-être aussi établir une liaison nécessaire entre la philosophie mathématique qui est à la base du positivisme, et la période de l'histoire de la science qui est dominée par l'œuvre mathématique de Lagrange.

172. — Ce qui est caractéristique du premier volume du Cours de philosophie positive^ ce n'est pas que la mécanique rationnelle y soit, au môme titre que la géométrie, considérée comme une partie de la mathématique ; c'est qu'elle puisse, indépendamment de la géométrie, se rattacher à la partie purement abstraite de la mathématique, et y marquer ainsi d'une façon frappante la liaison entre les sciences de la nature et Tinstrument logique que la mathématique constitue.

Or cette idée de la mécanique rationnelle est due à Lagrange; il écrivait dans Y Avertissement de la Mécanique Analytique : « On ne trouvera point de figures dans cet ouvrage; les méthodes que j'y expose ne demandent ni constructions, ni raisonnements géométriques ou mécaniques, mais seulement des opérations algébriques, assujetties à une marche régulière et uniforme. Ceux qui aiment l'Analyse verront avec plaisir la Mécanique en devenir une nouvelle branche, et me sauront gré d'en avoir étendu ainsi le domaine ^ »

Voici, d'autre part, qui ne sera pas moins important pour rendre compte de la conception d'Auguste Comte, et de nos propres conceptions contemporaines :1a réduction delà mécanique à un système de déductions abstraites n'est pas rattachée par Lagrange à une vue a priori; an contraire elle va résulter de l'histoire elle-même, du travail de simplification progressive qui s'accomplit à mesure que s'étend l'horizon des recherches scientifiques; la philosophie de la mécanique reposera sur Vhistoire de la mécanique. Dès les premières pages de la Mécanique Analytique se manifeste, dit Auguste Comte, « l'éminente supériorité philosophique de Lagrange sur tous les géomètres postérieurs à Descartes et à Leibnitz »; la preuve la plus décisive en est, dit-il, dans « ces sublimes chapitres préliminaires des diverses sections... En exposant cette admirable filiation des principales conceptions de l'esprit humain, relativement à la mécanique rationnelle, depuis l'origine de la science jusqu'à

1. Œuvres d? Lagrange, édit. Scrrct-Darboux, t. XI, 1888, p. xii.

nos jours, \o p^c^nic de Lat,M-an<((' a corlaincmcnt pressenti le vérllahlc os])rit général de la nirlhodc liislorique, par cela seul (|u'il a choisi une telle appréciation fondamentale pour base préliminaire de rensemble de ses propres spéculations scienliliqucs '. »

173. — De celle histoire un trait est essentiel à retenir pour comprendre la connexion entre l'œuvre de Lagrangc et Tœuvre de Comte, la fortune du principe des vilesses virtuelles : « On doit entendre, écrit Lagrange dans la première section de la Statique, par vitesse virtuelle celle qu'un corps en équilibre est disposé à recevoir, en cas que l'équilibre vienne à être rompu, (;'est-à-dire la vitesse que le corps prendrait réellement dans le premier instant de son mouvement; et le principe dont il s'agit consiste en ce que des puissances sont en équilibre quand elles sont en raison inverse de leurs vitesses virtuelles, estimées suivant les directions de ces puissances -. » Selon Lagrange, les Anciens ne l'auraient pas connu ; il apparaît dans la Statique avec Galilée. Il marque l'avènement d'un nouveau mode d'interprétation: il s'agit, en effet, de substituer, à la décomposition élémentaire et presque matérielle dont les Anciens se sont presque toujours contentés, une analyse idéale, d'introduire dans le repos même, et pour en fixer les conditions, la notion d'un déplacement infiniment petit. Nous avons vu naître cette conception sous une forme intuitive chez Galilée et chez Descaries ■'; elle trouve son expression adéquate dans l'algorithme différentiel. Le principe des vitesses virtuelles fournit donc la possibilité d'appliquer à l'étude de l'équilibre les ressources de la mathématique moderne.

Lagrange applique ce principe aux problèmes de la dynamique. Pour cela, il utilise une proposition capitale que d'Alembert avait énoncée, en 1743, dans son Traité de dynamique. D'Alembert l'avait présentée comme un « principe général pour trouver le mouvement de plusieurs corps qui agissent les uns sur les autres d'une manière quelconque. » ^lais en dépit de cette dénomination de principe, il s'agit, ici encore, moins d'une vérité première, que d'une méthode de décomposition idéale. Lagrange l'a d'ailleurs éclairée dans l'énoncé qu'il en donne, avec son incomparable concision : « Si l'on imprime à plusieurs corps des mouvements qu'ils soient forcés de changer à cause

1. Cours de philosophie positive, t. IV, 18.39, p. 331. Cf. t. VI, 1842, p. 440.