IbU., I

niser les relations de l'abstrait au concret en mathématiques, par la représentation analytique des phénomènes naturels. Il n'y a point, dans la philosophie mathématique, de pensée qui mérite davantage de fixer toute notre attention ^ » On sait avec quelle insistance Auguste Comte rappelle, on pourrait presque dire révèle, à ses contemporains qui semblaient malgré les travaux de Monge en avoir laissé échapper le sens, la « grande idée mère de Descartes », destinée à « diriger indéfiniment toutes les spéculations géométriques- ». Il profite de 1' « intermittence philosophique » qui lui laissait une sorte de loisir très passager entre l'achèvement du Cours de Philosophie et l'élaboration du Système politique, pour « publier au moins la partie de [ses] leçons qui se rapporte au degré le plus important, le plus difficile, et le plus imparfait de l'initiation mathématique '^».

« Cette double relation alternative entre l'abstrait et le concret, dont la pensée cartésienne constitue le principe fondamental* », ou, comme dit encore Comte, « l'intime harmonie naturelle... entre les idées de ligne et les idées d'équation ^ » suggère et vérifie si bien l'idée d'une « harmonie nécessaire * » qu'on a fini par perdre « de vue le caractère de science naturelle nécessairement inhérent à la géométrie '. »

Mais précisément, en établissant <* la possibilité constante d'une... co-relation * » entre les considérations géométriques et les considérations analytiques. Descartes n'a fait que porter à son plus haut point l'unité des deux caractères qui constituent la mathématique comme science : c'est-à-dire la clarté intrinsèque du calcul et l'application directe au réel. Dès lors, dit Auguste Comte, « plus nous devons ici considérer la géométrie comme étant aujourd'hui essentiellement analytique, plus il était nécessaire de prémunir les esprits contre cette exagération abusive de l'analyse mathématique, suivant laquelle on prétendrait se dispenser de toute observation géométrique proprement dite, en établissant sur de pures abstractions algébriques les fondements mêmes de cette science naturelle" ».

178. — Déjà les mathématiciens du xviii* siècle, en particulier