In Diels, p. 243, cf. Arist., Met. I

espèces de nombres, celle du pair dont le premier est 2, de Vimpair dont le premier est 3, du pair-impair qui est ici l'unité, du carré parfait dont le premier est 4.

20. — Enfin, puisque les Grecs ont ainsi rapporté la constitution des nombres à deux procédés de formation, l'un qui serait la duplication ou pour prendre la forme la plus générale, la multiplication, et l'autre qui serait l'addition, la trace de cette dualité doit se retrouver dans leurs spéculations mathématiques.

L'un des principaux problèmes qui concernent la théorie des nombres consiste à étudier le rapport d'un nombre à ses composants, sous le double point de vue de la multiplication et de l'addition, et à comparer entre eux les résultats obtenus. Ainsi, on considère les diviseurs d'un nombre donné, l'unité comprise, mais à l'exception toutefois de ce nombre lui-même (ce que Ton appellera ses parties aliquotes), et on en fait la somme; cette somme sera en général ou plus grande ou plus petite que le nombre lui-même, lequel sera appelé en conséquence abondant ou déficient. 12 est abondant parce que la somme de ses parties aliquotes est : l+2-h3-h4H-6 ou 16; 8 est déficient parce que ses parties aliquotes ajoutées produisent 1 + 2 -h 4 ou 7. Mais il y a quelques nombres qui sont équivalents à la somme de leurs parties aliquotes :

6 = lH-2-f-3 (avec cette particularité caractéristique du nombre 6, que l'on a également : 6 := 1 x 2 X 3).

Une correspondance aussi remarquable entre le procédé de multiplication et le procédé d'addition confère à ces nombres un caractère de perfection ; 6, 28, 496 sont des nombres parfaits. Dans Euclide la théorie des nombres parfaits est déveteppée jusqu'à fournir une relation d'ordre général entre la classe des nombres parfaits et la classe des nombres premiers : Si, partant de l'unité, on forme la progression géométrique de raison 2, et si la somme de ces termes est un nombre premier, le produit de ce nombre premier par le dernier terme de la progression est un nombre parfait. Par exemple la somme 1 + 2 + 4 + 8 + 16 donnant 31, qui est un nombre premier, le produit de 31 par 16, ou 496, est un nombre parfait *.