Élém., IX, 36. Ed. Heiberg, t. II, Leipzig, 1884, p

PROGRESSIONS ET MEDIETES

21. — La théorie des nombres parfaits manifeste d'une façon saisissante le caractère spécifique de Tarithmétique grecque; le savant met au jour la structure interne des nombres, de la même façon qu'il observe les propriétés des figures géométriques, ou qu'il décrit la forme des constellations célestes. A cette méthode est due la partie la plus solide et la plus belle de la doctrine pythagoricienne, celle d'où se dégagent des lois comparables en simplicité et en fécondité aux formules de l'algèbre moderne.

On prend l'unité pour point de départ; on ajoute à l'unité la série ascendante des nombres impairs; la progression arithmétique que l'on forme ainsi jouit de cette propriété qu'à chacune des étapes où l'on s'arrête, la somme de l'unité et des nombres ; impairs constitue un nombre carré

et que tous les nombres carrés sont donnés par ce processus de formation (fig. 1). Par la seule considération d'une progression arithmétique se trouvent donc constituées toutes les surfaces carrées qui ont pour côtés des nombres entiers. De plus, puisque l'addition successive d'un nombre impair 5, 7 ou 9, permet de passer d'un carré 4, 9 ou 16 au carré suivant, 9, 16 ou 25, tout nombre impair se définit comme la différence de deux surfaces carrées ayant respectivement pour côtés deux entiers consécutifs, c'est-à-dire comme un gnomon. Cette définition géométrique explique la constitution interne du nombre impair; il est la somme d'un carré ayant l'unité pour côté, et de deux rectangles égaux dont le plus petit côté est égal à l'unité :

Si nous additionnons d'autre part les nombres pairs consécutifs, nous obtenons une série de nombres qui sont des sommes de progressions arithmétiques, et qui sont en même temps des produits et par conséquent des surfaces; seulement les facteurs de ces produits sont égaux l'un à la moitié du dernier nombre pair de la progression, l'autre à ce premier

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. fadeur auc^monU'^ de l'iinilé; la surface a donc ses deux côtés ; inéjj^aux. elle est hétéronièque ou rectangulaire (lig. 2). Parla I s'explique la dénomination de nombres hétéromèques donnée à ' la somme de ces nouvelles progressions arithmétiques, et l'introduction de l'opposition du carré et de rhéléromèque dans la [ série des dix oppositions qu'Arisi tote nous a transmises, en corrélation directe avec l'opposition

initiale de r/m/;a/r et du /ja//'. De ....

là encore l'indication d'un nou- Fjg | Fig. 2.

veau lien entre le couple antithétique impair-pair et le couple limité-illimité^ lien moins direct mais plus logique que celui que nous avons eu l'occasion de signaler et que l'on peut supposer lui avoir succédé dans l'enseignement de l'École. En effet, tandis que la somme des nombres impairs engendre des carrés toujours semblables à eux-mômcs, la somme des nombres pairs engendre des rectangles qui sont perpétuellement différents ; de sorte que leur variation indéfinie fait contraste avec la fixité du carré'.

22. — La portée philosophique de la doctrine pythagoricienne des médiétés n'apparaît pas moindre. En outre du moyen arithmétique et du moyen géométrique^ les Pythagoriciens introduisent le moyen harmonique. La médiété — , = t donne l'égalité

Ainsi 8 est moyen harmonique entre 12 et 6 puisque

« Nous retrouvons là, dit M. Milhaud, l'origine de la dénomination d'harmonique-. Si en effet, au lieu de faire correspondre 1 à la première note de l'octave, on fait correspondre 6 pour n'avoir ensuite que des nombres entiers, c'est 8 qui correspondra à la quarte, au lieu de ^, et 12 à l'octave, au lieu de 2 ^ »