Revue générale des sciences, 1893, p

LA CONCKI'TION DK LA MECANIQUK RATIONNELLE 309

de causalité à l'irréversibilitc du temps ' ; et c'est là un argument important pour décider de la portée rationaliste ou antirationaliste du principe. Mais il serait dangereux d'aller plus loin, de iirétendre établir un lien d(; justification réciproque entre une conception philosophique qui exprimerait une exigence nécessaire de la raison, et un principe qui est manifestement issu de l'expérience, dont les physiciens discutent encore aujourd'hui et loxtension au problème général de l'univers et la relation aux principes du mécanisme 2.

De môme, si la mécanique nouvelle issue de la théorie des électrons ramène au premier plan de l'exposition physique les notions d'attraction et de répulsion, et se conforme ainsi au programme que Kant traçait dans les Premiers Principes métaphysiques de la science de la nature, ne suffit-il pas, pour limiter la portée de ce fait, d'ajouter qu'elle arrive à mettre en question la constance de la masse, c'est-à-dire le principe qui paraissait satisfaire de la façon la plus simple à l'idée d'une vérité intelligible, et se démontrer le plus facilement à l'aide des catégories de l'entendement pur?

De toutes façons, par conséquent, nous savons que nous n'avons plus à faire fond sur la législation rationnelle de la physique, sur la systématisation abstraite de la mécanique, pour apporter un centre de stabilité au corps des mathématiques, et assurer la connexion entre les sciences de raisonnement et les sciences d'expérimentation. La nature mixte de la mécanique rationnelle, loin d'apporter par elle-même une solution aux difficultés de la philosophie scientifique, soulève des problèmes qui ne sont ni préliminaires ni simples, puisqu'en dehors même de leur application au réel elle met nécessairement en cause la valeur des notions et des méthodes que la mécanique rationnelle, en tant qu'analyse ou géométrie prolongée, reçoit de la mathématique proprement dite.

Si nous avons rencontré des thèses contraires dans le kantisme et dans le positivisme, nous pouvons les considérer comme résolues par la méthode historique, c'est-à-dire rapportées à un état particuHer de la science qui en légitime l'apparition, mais auquel néanmoins elles ne sont pas destinées à survivre. 11 a

1. Cf. Lasswitz, Die moderne Energetik in ihrer Bedeutung fiir die Erkenntniss- Kritik, Philosophische Monatsheftc, t. XXIX, 1893, p. 17; et Haanequin, Revue de métaphysique, 1904, p. 418.

2. Voir Boltzmann, Leçons sur la théorie des gaz, tr. Gallotti et Bénard, t. II, 1903, p. 230 et suiv. ; et Seeliger, Ueber die Anwendung der Naturgesetze auf das Universum, Scienlia, t. VI, p. 240 et tr. fr., p. 103.

existé une étape de la philosophie mathématique où les considérations de statique et de dynamique, utilisées depuis Archimède et Galilée comme auxiliaires, comme motrices pour la découverte, se sont introduites dans l'interprétation de la science constituée. Cette étape semble aujourd'hui définitivement franchie grâce à l'intervention de l'expérience dont l'importance primordiale n'avait certes échappé ni à Kant ni à Comte, mais dont ils n'avaient pas prévu suffisamment, semblet-il, la complexité croissant avec le progrès des instruments techniques, ni la radicale plasticité.

Section B. — Les géométries non euclidiennes.

185. — C'est la méditation de la géométrie euclidienne qui a conduit Kant à la doctrine de VEslhétique transcendeniale et qui lui a permis d'insérer les formes d'intuition comme médiatrices entre les catégories du jugement et les principes de la physique rationnelle. De même, on peut soupçonner que la géométrie de Descartes a servi de prototype à la mécanique de Lagrange, et que, par là, Comte fut amené à les considérer toutes deux comme étant au même titre des branches de la mathématique. La philosophie mathématique, dans cette période où la science tendait à se constituer sous une forme positive et organique, supposait à titre de postulat la simplicité de la notion d'espace, qui manifestait d'une façon irrécusable l'unité de l'intelligible et du réel.

Or, à l'étonnement, au scandale, des générations de penseurs qui faisaient fond sur cette simplicité, la physionomie de la géométrie s'est transformée radicalement au cours du xix"^ siècle, par la multiplicité des méthodes géométriques, par la constitution des géométries non euclidiennes^ par la conception de la Géométrie générale.

Quelle est, du point de vue proprement scientifique, la portée de cette transformation? La géométrie classique est-elle devenue, comme la mécanique rationnelle, 1' « amorce » d'une science expérimentale? ou la géométrie classique a-t-elle simplement changé de situation, de la façon dont la perspective d'un monument ancien vient à être modifiée par la construction d'édifices modernes dans le voisinage, sans que la structure ou la solidité en soient altérées le moins du monde? Bien plus, n'est-on pas autorisé à dire que dans le plan initial de la géométrie classique ces constructions étaient prévues, tout au moins qu'une place

LES GEOMETRIES NON EUCLIDIENNES 311

leur était réservée dès le moment où Ton cherchait à organiser la science des relations géométriques suivant un idéal de déduction a priori?

Telle est la question que nous devons soumettre à l'examen des faits. Déjà, nous avons eu l'occasion de considérer la constitution des Eléments d'EucIide, et nous avons reconnu qu'en dépit de la rationalité de la forme, ils répondent, comme les Analytiques d'Aristole eux-mêmes, au type de ce que Comte appelait une science naturelle. Dans Tune et dans l'autre œuvre, une place est faite aux lois physiques qui expriment soit la classification des caractères biologiques, soit l'intuition des rapports spatiaux : elles ne sont pas entièrement fondues dans les lois logiques; elles demeurent présentes, et nécessairement présentes dans leur spécificité irréductible, afin d'imprimer im mouvement et une orientation au mécanisme indifférent de la transformation logique. Seulement ce qui était chez les créateurs l'équilibre harmonieux du physique et du logique, est interprété par les disciples dans le sens d'une homogénéité complète. Le syllogisme devient la méthode capable d'engendrer de soi la science universelle; et de même, la rigueur que l'on rencontre dans le détail des démonstrations euclidiennes, fait conclure à une sorte de démonstration totale où les notions constitutives du savoir seraient, aussi bien que les principes régulateurs du raisonnement, des éléments purement logiques, attestant dans l'esprit un pouvoir de création absolue.

Or un semblable idéal, suggéré par la forme des Éléments, dépassait naturellement le degré de perfection que les Éléments avaient atteint en effet ; la probité scrupuleuse de l'exposition euclidienne mettait d'ailleurs en lumière les points qui d'euxmêmes s'offraient à la critique. Les axiomes pouvaient paraître justifiés par leur évidence intrinsèque, et comme les conditions de l'activité intellectuelle ; les définitions pouvaient être introduites à titre de produits légitimes de la pensée géométrique. Mais les postulats étaient des affirmations analogues par le contenu aux théorèmes, et sollicitant par conséquent le même effort de démonstration. De là l'inévitable réaction de l'idéal suggéré par Euclide sur la science même telle qu'Euclide l'a constituée; de là le problème auquel donnera lieu, en particulier, le postulat relatif aux parallèles. Si la géométrie doit être réputée l'art de tout prouver, il est inadmissible que l'on demande d'accorder ce qui doit être conquis par la démonstration. De fait, les successeurs d'EucIide, par exemple Geminus, s'appuient sur l'autorité de Platon et d'Aristote pour chasser de la géométrie tout

appel à la vraisemblance et à la probabilité ' . Et, dès le second siècle de Tère chrétienne, avec l'ouvrage de Ptolémée dont Proclus nous a conservé une fort intéressante analyse -, se manifeste un effort méthodique pour combler cette lacune capitale de la démonstration euclidienne, et faire entrer le postulat d'Euclide dans le tissu des théorèmes.

Le problème qui va se poser nest donc pas de ceux où serait engagée, ainsi qu'on l'a cru quelquefois, la destinée de la science euclidienne. En réalité le débat est entre la géométrie, telle qu'elle est chez Euclide, et la géométrie telle qu'elle devrait être suivant certains disciples plus logiciens que le maître. Il est clair, en effet, que si la géométrie doit apparaître capable de rendre raison de tout, même de son propre point de départ, s'il faut n'introduire aucun terme qui ne soit strictement réductible à des termes déjà définis, aucune proposition qui ne soit la conséquence logique de propositions déjà démontrées, l'attribution aux parallèles de propriétés qui ne résultent pas de leur définition, sous quelque forme qu'elle soit donnée, est une proposition qu'il est nécessaire de vérifier, sous peine de faire peser le soupçon d'incertitude sur tout le corps de doctrine qui est suspendu à cette proposition initiale. S'il se trouve, au contraire, que cette réduction intégrale est impossible en fait, sinon en droit, si, pour parler avec Pascal, « ce qui passe la géométrie nous surpasse », alors Euclide a raison : il fallait « s'arrêter quelque part », et, à l'aide des demandes euclidiennes ou par d'autres énoncés équivalents, placer en tête de la science quelques propositions qui marquent explicitement la connexion entre la forme abstraite du raisonnement et l'objet même auquel cette forme doit s'appliquer.

Voilà, exprimée en ses termes historiques, l'alternative que l'histoire avait à trancher. Or il semble que la solution de l'histoire ne laisse place à aucun doute, à aucune équivoque. La constitution des géométries non euclidiennes a confirmé d'une façon définitive la conception proprement « euclidienne » de la géométrie : les propositions qu'Euclide a eu la sagesse d'admettre sans démonstration sont, effectivement, indémontrables.

1. '0 rep-ïvo; ôpôwç à7tr|VTr,Sc Xéywv oti Ttap'aùxûv èixâSoaev tûv xr\ç, im(7\r\^r^^

Xoywv Tùjv bi y£a)[X£Tp:a 7rapa6o-/il''- Proclus in Eucl. éd. Friedlein, 1873, p. 192. Le passage de Proclus est traduit dans Vincent, Sur un point de Vhistoire de la ijéométrie chez les Grecs et sur les principes philosophiques de cette science, 1837, p. 10.

2. Ibid.. p. 362. Cf. Vincent, op. cit., p. 13-21, et Ileath, The thirtcen Boohs of Euclid\ Eléments, t. I, 1008, p. 204 et suiv.

LES l'UÉCURSEUllS DE SACCHEHI 313

LES PRECURSEUnS DE SACCHERI

180. — Les considéralions précédentes, l'apparence de paradoxe (ju'unc terminologie confuse donne ù leurs conclusions, lont prévoir à travers quelles éijuivoques devait se dégager la véritable portée des géométries non euclidiennes, de quelles illusions de perspective les Lobalschevvsky, les Bolyai, et leurs premiers commentateurs, ont pu être les victimes, comme il a dû nrriver souvent aux initiateurs ou aux contemporains d'une grande découverte.

Lorsque l'œuvre à laquelle Lobatschewsky en particulier avait consacré sa vie, l'ut connue, et agrégée au domaine commun de la science, lorsqu'il fut admis qu'un système cohérent de propositions géométriques pouvait être développé dans lequel la somme des angles d'un triangle rectiligne fût moindre que deux angles droits, cette découverte fut regardée naturellelement comme marquant une rupture avec le passé. La géométrie d'Euclide avait, jusque-là, semblé si profondément gravée dans la nature de l'esprit humain, elle dessinait si nettement la figure immuable des choses, qu'elle délimitait à l'avance l'horizon de la recherche scientifique ; or, voici qu'une bifurcation apparaît brusquement à un détour de la route, et l'effort de l'investigation scientifique s'engage pour une autre destinée. La géométrie où la somme des angles d'un triangle est moindre que deux droits a été appelée, par celui-là môme qui l'a constituée, géométrie imaginaire; la géométrie où la somme des angles du triangle est égale à deux droits, la géométrie d'Euclide, est déchue du monopole séculaire qui lui avait été reconnu ; elle prend place à côté de la géométrie de Lobatschewsky, et il semblait que par cette juxtaposition même, elle dût être rabaissée au niveau de celle-ci, qu'elle perdît sa valeur de réalité pour devenir, sinon « imaginaire », du moins hypothétique.

Les études historiques que devait provoquer le succès même de la géométrie non euclidienne, conduisent à présenter les choses sous un jour différent. L'avènement de la géométrie lobatschewskienne est moins un point de départ qu'un point d'arrivée. Elle est le dénoûment de la crise ouverte dès l'antiquité et au cours de laquelle se sont lentement élaborées les notions qui devaient présider à la géométrie non euclidienne.

Au cours de ce travail, un premier résultat fut acquis : on reconnut quelaforme sous laquelle Euclide introduit le postulat

ne correspond pas à un fait unique et hors de pair. La formule employée par Euclidepeut être remplacée par d'autres formules, capables de mettre davantage en lumière les propriétés caractéristiques des parallèles euclidiennes et de l'espace auquel elles se rapportent. A cet égard, les traits les plus signiticatifs sont peut-être ceux qu'on relève aux deux extrémités de cette évolution : au I" siècle av. J.-C, la définition des parallèles que Posidonius substitue à la définition d'Euclide; au xvii'^ siècle, la proposition que Wallis invoque pour la démonstration du postulat d'Euclide.

187. — Pour Posidonius, deux parallèles sont deux droites toujours équidistantes. Et Proclus, qui nous a transmis cette définition ^ la défend en insistant sur le « paradoxe géométrique » qu'a signalé Geminus : l'existence de droites asymptotes à l'hyperbole ou à la conchoïde. Puisque deux lignes peuvent ne pas se rencontrer, sans pourtant être parallèles, la liaison défait qu'Euclide a marquée pour les droites entre Vasymptotie et le parallélisme n'est pas un rapport essentiel; la définition des parallèles doit être fondée sur un caractère positif, qui explique l'importance décisive de la théorie dans le développement de la géométrie.

D'autre part, poursuivant l'eftbrt ininterrompu, grâce aux écoles de mathématiciens arabes, pour parvenir à la démonstration du postulat euclidien, Wallis dégage, comme une des conditions requises pour la rigueur de la démonstration, ce lemme fondamental que pour toute figure il existe une figure semblable de grandeur arbitraire "-. Wallis fait remarquer que le postulat III d'Euclide : Qu'il soit demandé de décrire un cercle de centre quelconque, est un cas particulier du théorème général de similitude ; et il réclame le droit de présenter le théorème comme une « notion commune », fondée sur la « nature de la quantité » : il est de l'essence de la quantité, que toute figure soit, sans perdre la qualité spécifique de sa figure, susceptible d'être augmentée ou diminuée, majorée, ou minorée, comme dira Delbœuf^. Ainsi, avec l'instinct d'un mathématicien de race,