Op. cit., p

2. « Praesumo tandem (ex prœsupposita rationum natura tanquam cognita et lîgurarum similiuin deflnitione), ut communeni notionem, datas cuicunque Jigurœ, similem aliam cujiiscunque tnagnitudinis possibilem esse. Hoc enim (propter quantitates continuas in inflnitum divisibiles, pariter atque in infmitum augibiles), vidctur ex ipsa quantitatis natura fluere; figuram scilicet quamlibet continue posse (retenta figurée specie) tum minui, tum augeri in inflnitum. » Demonslratio poslulati quinti Eiididis (1663), prop. VIII, Opéra, t. II, Oxford, 1693, p. 676.

3. Prolégomènes philosophiques de la géométrie et solutions des posiulats, Liège,

LE P. SACCHERI 3 l 'j

Wallis a mis en luinirro le caractère (jui, après la conslilulion des géoniél ries non euclidiennes, devait maintenir à la géométrie euclidienne un privilège de simplicité où quelques-uns ont vu un degré supérieur de rationalité.

Mais, pour conférer à cette vue intuitive sa juste valeur, en dissipant toute illusion d'évidence intellectuelle, il fallait se rendre capable de concevoir dilTércnts types possibles d'espaces, entre lesquels la comparaison pût être instituée, et se terminât au profit de l'espace euclidien ; il fallait préparer le terrain où s'établiraient les géométries non euclidiennes.

LE p. SACCHERI

188. — Telle fut l'œuvre, décisive du point de vue où nous sommes placé, que Saccheri accomplit. Comme la excellemment montré Vailati ', le P. Saccheri procède en logicien. Il applique d'une façon systématique à la démonstration des principes un raisonnement que l'on trouve déjà dans la théorie euclidienne des nombres -, et qui est une élaboration subtile de la réduction à Vabsiirde. On y suppose fausse la proposition que l'on veut établir, et l'on fait voir qu'elle se retrouve vraie dans l'hypothèse même qui en avait posé la fausseté. La méthode réussit dans la logique formelle. Pour reprendre l'exemple élégant que Saccheri donne de cette méthode dans sa Logica demonstratiua (1697), soient les deux propositions suivantes :

Tout A est B, Nul C n'est A;

de ces deux propositions, on ne peut rien tirer parce que dans le syllogisme où le moyen terme est sujet de la majeure et prédicat de la mineure, c'est-à-dire dans le syllogisme de la première figure, la mineure est toujours affirmative. Or cette règle

1860, p. i.32. Cf. Courant, Essai sur les fondements de nos connaissances et sur les caractères de la critique philosophique, § 234, t. II, 18.51, p. 53, n. 1. « Il ne faut que de médiocres connaissances en géométrie élémentaire, et un peu de réflexion, pour se convaincre que Y imperfection de la théorie des parallèles (pour employer le mot consacré) tient au refus d'admettre comme notion naturelle et primitive, la notion de la similitude ou l'idée qu'une figure étant donnée on peut toujours en imaginer une autre qui ne diffère de la figure primitive que parce qu'on a changé l'échelle de construction, ou parce que toutes les lignes de la figure ont crû ou décru proportionnellement. »

1. Sur une classe remarquable de raisonnements par réduction à Vabsurde, Revue de métaphysique, 1904, p. 799 et suiv.